突然就一点容斥都不会了... 重学一下
错位1
题目大意: \(n\) 个人 \(n\) 个位置, 求恰有 \(0\) 个人站在自己编号上的方案数
做法:
好算的东西是 \(f[i] = \binom n i (n-i)!\)
\(f[i]\) 中还包含了一些 \(j\ge i\) 的方案.
我们给每个在 \(f[i]\) 时被算到的方案附上一个系数 \(coef[i]\)
对于这题, 我们希望所有非 \(0\) 位置被附上的系数的和为 \(0\), 而 \(0\) 这个位置被附上的系数和为 \(1\)
注意到每个 \(j\) 的方案会被 \(i\) 附上 \(\binom j i\) 次系数. 也就是说
\[[j=0] = \sum_{i\le j} \binom j i coef[i]\]
这里 \(coef[i] = (-1)^i\)
错位2
题目大意: \(n\) 个人 \(n\) 个位置, 求恰有 \(k\) 个人站在自己编号上的方案数
做法:
沿用上题的思路
\[[j=k] = \sum_{i \le j} \binom j i coef[i]\]
使用二项式反演得 \(coef[i] = (-1)^{i-k} \binom i k\)
相邻段, 联通快, 苹果树, 黑暗幻想乡, whj, ypl, vfk