【更相减损法,dfs】Day 5 提高组模拟C组 T2 数字对

题目链接

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2090

题目大意

给定$n$，有两种方式转换$(a,b)$->$(a+b,b)$或$(a,b)$->$(a,a+b)$，求出$(1,1)$->$(n,x)$的最小步骤，$x$可以是任意正整数

解题思路

第一种方法，直接爆搜可以拿50分

第二种方法，反过来搜索加上剪枝也可以$AC$，就是让$(a,b)$可以转换成$(a-b,b)$和$(a,a-b)$，然后递归
注意，该方法仅能在洛谷上AC，在JZOJ中会RE

第三种想法是基于第二种方法的倒序思想，用到了《九章算术》中提到的更相减损法（又称更相减损术），具体是这样的

$gcd(2a,2b)=2gcd(a,b)$
$gcd(a,b)=gcd(a-b,b)|a>b$
这里我们用到的是第二条，再配合上辗转相除法可以达到加速递推的效果
$gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$
带入进去$gcd(b,a\%b)=gcd(a-b,b)$，这样子就可以加速递推了。

因为题目要求的最终状态为$(1,1)$，所以当$gcd(a,b)=1$的时候结束，而加速递推之后每次是进行$a \ \ div\ \ b$次运算

dfs代码（50分）

#include<cstdio>    
#define swap(a,b) {a^=b;b=a^b;a^=b;}
using namespace std;int n,ans=2147483647,f[1000001];
void dfs(int a,int b,int dep)
{
    if(a<b) swap(a,b);
    if(a>n||b>n) return;
    if(a==n||b==n) {if(dep<=ans)ans=dep;return;}//保存答案
    if(f[a]==b||f[b]==a) return;
    f[a]=b;//一个小剪枝，然而并没有什么用
    dfs(a,a+b,dep+1);
    dfs(a+b,b,dep+1);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1,1,0);
    printf("%d\n",ans);
}

dfs代码（100分）

#include<cstdio>
#define min(a,b) a<b?a:b
using namespace std;int n,ans=2147483647,f[1000001];
void dfs(int a,int b,int dep)
{
    if(dep>ans) return;//最优化原理
    if(a==1&&b==1) {ans=min(ans,dep);return;}
    if(a<1||b<1) return;
    if(a>b) dfs(a-b,b,dep+1);
    if(b>a) dfs(a,b-a,dep+1);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=2;i<n;i++)
    dfs(n,i,0);
    printf("%d",ans);//输出
}

AC代码

#include<cstdio>
#define min(a,b) a<b?a:b
using namespace std;int n,ans=1e9;
int gcd(int a,int b)
{
    if(b==1) return a;//结束，返回a
    if(!b) return 1e9;
    return gcd(b,a%b)+a/b;
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++) ans=min(ans,gcd(n,i));//保存最优解
    printf("%d",ans-1);//输出
}