【Codeforces 662C】Binary Table（FWT）

Description

有一个 $n$ 行 $m$ 列的表格，每个元素都是 $0$或$1$ ，每次操作可以选择一行或一列，把 $0$或$1$ 翻转，即把 $0$ 换为 $1$ ，把 $1$ 换为 $0$ 。请问经过若干次操作后，表格中最少有多少个 $1$ 。
$n\le 20,m\le 10^5$

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Solution

考虑到$n$很小，如果我们确定了哪些行被翻转了，那么可以单独考虑每一列需不需要翻转。
设$f(i)$表示状态为$i$的列有多少个；
$g(i)=min\{count(i),count(rev(i))\}$，$count(i)$表示$i$二进制下$1$的个数，$rev(i)$表示将$i$的二进制位全部翻转；
$h(i)$表示行的翻转情况为$i$时的最少的$1$的个数。
那么有：

$$\begin{align*} h(i)&=\sum_{j\oplus i = k}f(j)g(k) \\ &=\sum_{j\oplus k=i}f(j)g(k) \end{align*}$$
然后FWT即可。

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Code

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 * Au: Hany01
 * Date: Jul 6th, 2018
 * Prob: CF662C
 * Email: [email protected]
 * Inst: Yali High School
************************************************/

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
#define File(a) freopen(a".in", "r", stdin), freopen(a".out", "w", stdout)
#define rep(i, j) for (register int i = 0, i##_end_ = (j); i < i##_end_; ++ i)
#define For(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i <= i##_end_; ++ i)
#define Fordown(i, j, k) for (register int i = (j), i##_end_ = (k); i >= i##_end_; -- i)
#define Set(a, b) memset(a, b, sizeof(a))
#define Cpy(a, b) memcpy(a, b, sizeof(a))
#define x first
#define y second
#define pb(a) push_back(a)
#define mp(a, b) make_pair(a, b)
#define ALL(a) (a).begin(), (a).end()
#define SZ(a) ((int)(a).size())
#define INF (0x3f3f3f3f)
#define INF1 (2139062143)
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#define y1 wozenmezhemecaia

template <typename T> inline bool chkmax(T &a, T b) { return a < b ? a = b, 1 : 0; }
template <typename T> inline bool chkmin(T &a, T b) { return b < a ? a = b, 1 : 0; }

inline int read()
{
    register int _, __; register char c_;
    for (_ = 0, __ = 1, c_ = getchar(); c_ < '0' || c_ > '9'; c_ = getchar()) if (c_ == '-') __ = -1;
    for ( ; c_ >= '0' && c_ <= '9'; c_ = getchar()) _ = (_ << 1) + (_ << 3) + (c_ ^ 48);
    return _ * __;
}

const int maxn = 1 << 20, maxm = 100005;

int n, m, all;
LL f[maxn], g[maxn], Ans;

inline void FWT(LL *a, int N, int ty)
{
    for (register int i = 2, p = 1; i <= N; p = i, i <<= 1)
        for (register int j = 0; j < N; j += i)
            rep(k, p) {
                register LL x = a[j + k], y = a[j + k + p];
                a[j + k] = x + y, a[j + k + p] = x - y;
                if (ty < 0) a[j + k] >>= 1, a[j + k + p] >>= 1;
            }
}

int main()
{
#ifdef hany01
    File("cf662c");
#endif

    static char s[maxm];
    static int  a[maxm];

    n = read(), m = read();
    For(i, 1, n) {
        scanf("%s", s + 1);
        For(j, 1, m) a[j] |= ((s[j] ^ 48) << (i - 1));
    }
    For(i, 1, m) ++ f[a[i]];
    all = 1 << n;
    rep(i, all) g[i] = min(__builtin_popcount(i), __builtin_popcount(i ^ (all - 1)));

    FWT(f, all, 1), FWT(g, all, 1);
    rep(i, all) f[i] *= g[i];
    FWT(f, all, -1), Ans = INF;
    rep(i, all) chkmin(Ans, f[i]);
    cout << Ans << endl;

    return 0;
}
//小楼一夜听春雨，深巷明朝卖杏花。
//    -- 陆游《临安春雨初霁》