题解 - CF662C Binary Table

题解 - $\mathrm{CF\ 662C\ Binary \ Table}$

题目意思

• CF662C Binary Table
• 有一个 $n\times m$的表格，每个元素都是 $0/1$ ，每次操作可以选择一行或一列，把 $0/1$翻转，即把 $0$换为 $1$，把 $1$换为 $0$ 。请问经过若干次操作后，表格中最少有多少个 $1$ 。
• $n\leq 20,m\leq 10^5$

$\mathrm{Sol}$

• 前置知识：状压+ $fwt$
• 我们首先先考虑 $O(2^n\times m)$的暴力：因为 $n\leq 20$我们考虑先把每一列压成 $0/1$ 串。然后 $O(m)$枚举翻转哪一列，然后再 $xor$ 上枚举的行的反转状态，取 $\min(0,1)$就可以了。
• 我们考虑优化，设 $f_i$为状态为 $i$的个数， $g_i$为状态为 $i$下的 $\min(0,1)$，那么 $ans_i=\sum_{j\ xor\ k=i} f_j\times g_k$。这个就变成了 $fwt$的模板。
• 时间复杂度： $O(n\times 2^n)$

$\mathrm{Code}$

#include <bits/stdc++.h>
#define pb push_back
#define int long long 
using namespace std;

inline int read()
{
	int sum=0,ff=1; char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch))
	{
		if(ch=='-') ff=-1;
		ch=getchar();
	}
	while(isdigit(ch))
		sum=sum*10+(ch^48),ch=getchar();
	return sum*ff;
}

const int N=21;
const int M=1e5+5;
const int INV=499122177;

int n,m,a[N][M],f[1<<N],g[1<<N],S[M];

inline void fwt_xor(int *a,int op)
{
	for ( int mid=1;mid<(1ll<<n);mid<<=1ll ) 
		for ( int j=0,len=mid<<1;j<=(1ll<<n);j+=len ) 
			for ( int k=j;k<mid+j;k++ )
			{
				int x=a[k],y=a[k+mid];
				a[k]=(x+y);
				a[k+mid]=(x-y);
				if(op==-1)
				{
					a[k]=a[k]>>1;
					a[k+mid]=a[k+mid]>>1;
				}
			}
}

signed main()
{
	n=read();
	m=read();
	for ( int i=1;i<=n;i++ ) 
		for ( int j=1;j<=m;j++ ) 
		{
			scanf("%1d",&a[i][j]);
			if(a[i][j]) S[j]|=(1ll<<i-1);
		}
	for ( int i=1;i<=m;i++ ) f[S[i]]++;
	for ( int i=0;i<(1ll<<n);i++ )
	{
		int gs=__builtin_popcount(i);
		g[i]=min(gs,n-gs);
	}
	fwt_xor(f,1);
	fwt_xor(g,1);
	for ( int i=0;i<(1ll<<n);i++ ) f[i]=f[i]*g[i];
	fwt_xor(f,-1);
	int ans=1e9;
	for ( int i=0;i<(1ll<<n);i++ ) ans=min(ans,f[i]);
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}