【滚动训练】1270: [BeijingWc2008]雷涛的小猫（DP）

题意

雷涛的小猫雷涛同学非常的有爱心，在他的宿舍里，养着一只因为受伤被救助的小猫（当然，这样的行为是违反学生宿舍管理条例的）。 在他的照顾下，小猫很快恢复了健康，并且愈发的活泼可爱了。可是有一天，雷涛下课回到寝室，却发现小猫不见了！经过一番寻找，才发现她正趴在阳台上对窗外的柿子树发呆…在北京大学的校园里，有许多柿子树，在雷涛所在的宿舍楼前，就有N棵。并且这N棵柿子树每棵的高度都是H。冬天的寒冷渐渐笼罩了大地，树上的叶子渐渐掉光了，只剩下一个个黄澄澄的柿子，看着非常喜人。而雷涛的小猫恰好非常的爱吃柿子，看着窗外树上的柿子，她十分眼馋，于是决定利用自己敏捷的跳跃能力跳到树上去吃柿子。小猫可以从宿舍的阳台上跳到窗外任意一棵柿子树的树顶。之后，她每次都可以在当前位置沿着当前所在的柿子树向下跳1单位距离。当然，小猫的能力远不止如此，她还可以在树之间跳跃。每次她都可以从当前这棵树跳到另外的任意一棵，在这个过程中，她的高度会下降Delta单位距离。每个时刻，只要她所在的位置有柿子，她就可以吃掉。整个“吃柿子行动”一直到小猫落到地面上为止。雷涛调查了所有柿子树上柿子的生长情况。饱很想知道，小猫从阳台出发，最多能吃到多少柿子？他知道写一个程序可以很容易的解决这个问题，但是他现在懒于写任何代码。于是，现在你的任务就是帮助雷涛写一个这样的程序。左图是N=3，H=10，Delta=2的一个例子。小猫按照图示路线进行跳跃，可以吃到最多的8个柿子

题意

DP状态转移方程不难求出来。但是时间复杂度明显是不符合要求的。
考虑带有$delta$的转移，$dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][j-delta])$，不难发现对于在同一高度，其对应的最大值只有1个，并且最优情况一定是从最大值进行转移，所以求一个高度的最大值即可。这样复杂度变为$O(nm)$.

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n,m,delta;
int a[2005][5005], dp[2005][5005], mmax[2005];
int main() {
    scanf("%d %d %d",&n,&m,&delta);
    int num = 0,temp;
    for(int i = 1;i<=n;++i){
        scanf("%d",&num);
        for(int j = 1;j<=num;++j){
            scanf("%d",&temp); a[i][temp]++;
        }
    }
    for(int i = 1;i<=m;++i){
        for(int j = 1;j<=n;++j){
            dp[j][i] = dp[j][i-1] + a[j][i];
            if(i-delta >=1) dp[j][i] = max(dp[j][i],mmax[i-delta]+a[j][i]);
        }
        for(int j = 1;j<=n;++j) mmax[i] = max(mmax[i],dp[j][i]);
    }
    printf("%d\n",mmax[m]);
    return 0;
}