球谐函数

因为题主是从光学角度提问的，下面就从光学角度出发作答，当然实际上无法绕开数学。

球谐函数和振动有关，从某种意义上来说，它和三角函数没什么区别。因为它们只是在“不同坐标系”下描述“不同方向”的振动。

我们知道，麦克斯韦方程导出的波动方程：

$\nabla ^2 E - \mu \epsilon \frac{{\partial ^2 E}}{{\partial t^2 }} = 0$

（均匀各向同性介质）是描述许多光学现象的出发点。直接假定场在时间上是简谐振动的 $E(t) \propto e^{j\omega t}$ （单色光分析），立刻就有 $\nabla ^2 E + k_0^2 E = 0$ ，其中：

$k_0^2 = \omega ^2 \mu \epsilon$

当然这个方程可以描述很多种现象，如果把E理解为温度T，并取：

k_0^2 =0

这就是稳态热扩散方程；如果把 k_0^2 理解为特征值，这就是单自由粒子的定态薛定谔方程。所以这个方程的解，及其表现出的一系列振动特征，在许多领域都是普适的。

我们通常会在3种坐标系下求解这个方程，也就是矩坐标、柱坐标、球坐标。

球坐标系：

球坐标和直角坐的互换：

具体应用，在光学中，比如矩形腔、矩形波导，圆柱腔、圆柱波导，球型腔。热学中，可以有方块、圆柱、球的热扩散问题。量子力学里可以有方势阱、柱状阱、有心力场（氢原子）中的粒子运动问题。

每种坐标系都有3个方向，矩坐标系x、y、z，柱坐标系 $r,\phi,z$ ，球坐标系 $r,\theta ,\phi$ 。上述方程在每种坐标系的每个方向上都会形成特定的振荡形态（有时会出现衰减或放大形态）。球谐函数 $Y_l^m (\theta ,\phi )$ 描述的就是球坐标系中在 $\theta ,\phi$ 方向的振荡形态。这件事通过分离变量法可以看得很清楚。

方程的具体求解都是通过分离变量进行的，具体是：

矩坐标： E(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)
柱坐标： $E(r,\phi ,z) = R(r)\Phi (\phi )Z(z)$
球坐标： $E(r,\theta ,\phi ) = R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi)$

具体求解过程教科书上都有，这里不再赘述，只看结果。注意，分离变量后的每一个子函数都描述了一个特定方向的形态。

矩坐标系的处理在数学上是最容易的，我们知道三个方向都有相似的振荡模式，由三角函数描述，比如 sin k_x x 、 cos k_x x ，一般写为 $e^{jk_x x}$ 。如果 k_x 是实数，就是一个振荡；如果是虚数，就是一个指数衰减（或放大）。

在柱坐标系中， Z(z) 和矩坐标系没什么区别，也是 $e^{jk_z z}$ 的形式。 R(r) 的解是贝塞尔函数，注意，贝塞尔函数 J_n(x) 和 Y_n(x) 描述的就是径向振荡形态， I_n(x) 和 K_n(x) 描述的是径向放大或衰减形态。这和 $e^{jk_z z}$ 有相似的意义。 $\Phi(\phi)$ 具有 $e^{jm\phi}$ 形式的解，也是一个振荡（由于 $\phi$ 向通常要求周期性，故没有非振荡解），只是角向振荡。

在球坐标系中， R(r) 的解是球贝塞尔函数，意义和柱坐标系下类似。 $\Phi(\phi)$ 仍旧具有 $e^{jm\phi}$ 形式的解（同样有周期性要求）。 $\Theta(\theta)$ 描述了 $\theta$ 方向的振荡，只不过具体数学形式比较复杂（涉及勒让德函数）。“球谐函数”就是 $Y_l^m (\theta ,\phi ) = \Theta (\theta )\Phi (\phi )$ 。

球坐标系：，3D图：

2D密度图：

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