问题：假设一段楼梯共15个台阶，小明一步最多能上3个台阶，那么小明上这段楼梯一共有多少种方法？
解析：从第15个台阶上往回看，有3种方法可以上来（从第14个台阶上一步迈1个台阶上来，从第13个台阶上一步迈2个台阶上来，从第12个台阶上一步迈3个台阶上来），
同理，第14个、13个、12个台阶都可以这样推算，从而得到公式f(n) = f(n-1) + f(n-2) + f(n-3)，其中n=15、14、13、...、5、4。然后就是确定这个递归公式的结束条件了，
第一个台阶只有1种上法，第二个台阶有2种上法（一步迈2个台阶上去、一步迈1个台阶分两步上去），第三个台阶有4种上法。
Python实现
1.递推法
def climbStairs1(n):
a = 1
b = 2
c = 4
for i in range(n-3):
c, b, a = a+b+c, c, b
return c
2.递归法
def climbStairs2(n):
first3 = {1:1, 2:2, 3:4}
if n in first3.keys():
return first3[n]
else:
return climbStairs2(n-1) + \
climbStairs2(n-2) + \
climbStairs2(n-3)
看起来，问题似乎解决了。但是再多考虑一点，方法2中使用递归效率非常低，不仅因为递归时上下文的保存和恢复比较耗时，还因为涉及大量的重复计算。
因此进一步改进，可使用functools标准库提供的缓冲修饰器lru_cache来缓解这个问题。
@functools.lru_cache(maxsize=64)
def climbStairs3(n):
#带缓冲的递归法
first3 = {1:1, 2:2, 3:4}
if n in first3.keys():
return first3[n]
else:
return climbStairs3(n-1) + \
climbStairs3(n-2) + \
climbStairs3(n-3)
下面是测试代码 ，运行一次就可以看出不缓冲的递归方法效率之低。
n = 25
for f in (climbStairs1, climbStairs2, climbStairs3):
start = time.time()
for i in range(1000):
result = f(n)
delta = time.time() - start
print(f.__name__, result, delta)
Java实现
1.递推法
public static int climbStairs1(int n){
int a = 1;
int b = 2;
int c = 4;
for(int i=0;i<n-3;i++){
c = a + b + c;
b = c - a - b;
a = c - b - a;
}
return c;
}
2.递归法
public static int climbStairs2(int n){
int first[] = new int[3];
first[0] = 1;
first[1] = 2;
first[2] = 4;
if(n<=3){
return first[n-1];
}
else{
return climbStairs2(n-1) + climbStairs2(n-2) + climbStairs2(n-3);
}
}