Problem

　　学校里有n(2 ≤ n ≤ 100 000)间宿舍，每间宿舍应住b(1 ≤ b ≤ 10 000)个人。但是囿于同学们会串宿舍，所以一开始第i间宿舍有 $a_i (0 ≤ a_i ≤ 10^9)$ 个人。所有学生都在某间宿舍里，因此 $a_1 + a_2 + ... + a_n = nb$ 。
　　宿舍里有两个舍监。夜幕降临，他们就会开始搞事了。
　　一个舍监会从1号宿舍巡到n号宿舍，另一个则会从n号宿舍巡到1号宿舍。每间宿舍只会被查一次。
　　每次查房时，舍监会数学生，然后关灯锁门。如果这间宿舍的学生数≠b，舍监就会记下这间宿舍，这间宿舍就会gg了。
　　每次他们查房前（包括他们降临在1号、n号宿舍的那一回合），每名学生可以在未被锁门的房间之间狂奔。他可以跑去与当前宿舍距离不超过d(1 ≤ d ≤ n - 1)的另一间宿舍。此外，学生可以藏到床底下，这样眼瞎的舍监就不会发现他。
　　设x1表示1号舍监记下的房间数，x2表示2号舍监记下的房间数。学生~~团结一致互帮互助采用最优策略~~让你告诉他们max(x1,x2)的最小值。

Solution

首先想一想只有一个从1号宿舍巡到n号宿舍的舍监怎么破。
设当前宿舍为i。如果a[i]=b，当然不管它。
如果a[i]>b，则要分类讨论：1）i＜n，让多出来的学生去下一间宿舍；2）i=n，让多出来的学生藏到床底下。
如果a[i]＜b，那么我们可以从后i*d间宿舍（亦即第i+1~第i * (d+1)间宿舍）派人过来救援。
考虑一下如何实现这个贪心。

对a求个前缀和，记为sum。设res表示前i-1间宿舍跑来第i间宿舍避难的人数。
如果sum[min(1ll*n, 1ll*i*(d+1))] - sum[i-1] （当前宿舍和后i*d间宿舍原本的人数总和）+ res >= b，就代表我们可以把当前宿舍填满。此时，我们可能需要改变后i*d间宿舍的人数。
强行改变可能会导致时间复杂度退化为 $O(n^2)$ 级别，需要想一种更好的方案。
可以使res-=b。这就相当于我们从第i间宿舍、后i*d间宿舍以及原本避难的人当中“借”了b个人。这可能导致res＜0。不过可以考虑一个例子：第i间宿舍有2人，而b为3；第j间宿舍在后i*d间宿舍当中，有4人；我们实质上从j跑了一个人到i；不过，当我们扫到j时，j有一个人要往j+1去避难，刚好抵掉了此次的res-=b。
然后，如果sum[min(1ll*n, 1ll*i*(d+1))] - sum[i-1] + res ＜ b，则第i间宿舍会被记下。
最后，res+=a[i]。如果i最终没有被填满，反正要被记下了，不如倾巢而出去救援后面的宿舍；而如果i最终被填满了，配合上面的res-=b，实际上res-=b-a[i]。

考虑有两个舍监怎么破。
实际上，我们可以直接按照上述方法贪心计算x1、x2的最小值，直接取max。
这样看似捕星，因为x1愈小，x2肯定愈大；没理由让它们同时最小。
但是可以考虑下图：
假设上图中的a[i]＜b。最优策略肯定是让从绿色区间款款而来的人来填补；如果不够，则让蓝色区间的人狂奔过来填补；但如果还不够，则要让红色区间（另一个舍监的战场）的人铤而走险来填补了。
这样看似会导致另一个舍监的战绩x2++，然而实际不会。
注意本题的特殊性： $a_1 + a_2 + ... + a_n = nb$ 。填补宿舍的人手是够的。
这样一来，如果绿色、蓝色区间都不能填补i，则表明区间[1,mid]里的人＜应有的人（mid*b）；而红色区间里的人却>应有的人（(n-mid+1)*b）。
因此，在此种情况下，让红色区间的人填满了红色区间以后还绰绰有余。如下图所示：
最优策略定然存在一条分界线，分界线以左（紫色区间）的人用以填补区间[1,mid]，分界线以右（黄色区间）的人用以填补区间[mid+1,n]。
在上例中，分界线应在mid以右。黄色区间的人定然是可以填满区间[mid+1,n]的，因为他们可以待舍监到临前夕，让多余的人跑去下一间宿舍。
因此，我们可以放心地用紫色区间的人填补i号宿舍，不用担心会影响到区间[mid+1,n]。

　　时间复杂度： $O(n)$ 。

Code

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

const int N=1e5+1;
int i,n,d,b,a[N],sum[N],res,ans,x;

inline void work()
{
    if( sum[min(1ll*n, 1ll*i*(d+1))] - sum[i-1] + res >= b)
            res-=b;
    else    ans++;
    res+=a[i];
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&d,&b);
    fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i]), sum[i]=sum[i-1]+a[i];

    fo(i,1,(n+1)/2) work();
    x=ans; ans=res=0;
    reverse(a+1,a+n+1);
    fo(i,1,n) sum[i]=sum[i-1]+a[i];
    fo(i,1,n/2)     work();

    printf("%d",max(x,ans));

}

Codeforces Round #469(Div.1 D) (Div. 2 F)Curfew（贪心）

Problem

Solution

Code

猜你喜欢