[exgcd] Jzoj P1158 荒岛野人

Description

克里特岛以野人群居而著称。岛上有排列成环行的M个山洞。这些山洞顺时针编号为1,2,…,M。岛上住着N个野人，一开始依次住在山洞C1,C2,…,CN中，以后每年，第i个野人会沿顺时针向前走Pi个洞住下来。每个野人i有一个寿命值Li，即生存的年数。下面四幅图描述了一个有6个山洞，住有三个野人的岛上前四年的情况。三个野人初始的洞穴编号依次为1，2，3；每年要走过的洞穴数依次为3，7，2；寿命值依次为4，3，1。  奇怪的是，虽然野人有很多，但没有任何两个野人在有生之年处在同一个山洞中，使得小岛一直保持和平与宁静，这让科学家们很是惊奇。他们想知道，至少有多少个山洞，才能维持岛上的和平呢？

 

Input

输入文件的第1行为一个整数N(1<=N<=15)，即野人的数目。第2行到第N+1每行为三个整数Ci, Pi, Li (1<=Ci,Pi<=100, 0<=Li<=10^6 )，表示每个野人所住的初始洞穴编号，每年走过的洞穴数及寿命值。

Output

输出文件仅包含一个数M，即最少可能的山洞数。输入数据保证有解，且M不大于10^6。

 

Sample Input

3 1 3 4 2 7 3 3 2 1

Sample Output

6

题解

• 容易得到c[i]+p[i]*x≡c[j]+p[j]*x(mod m)
• 化简得(p[i]-p[j])*x-my=c[j]-c[i]

• p[i]-p[j]发现野人i每次跑的距离可以比野人j的少

• 所以b可能为负数

• 然后你将b取个abs

• 求出x后再判断是否小于等于l[i]或l[j]

代码

 1 #include<cstdio>
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cmath>
 5 #include<cstring>
 6 using namespace std;
 7 int n,c[20],p[20],l[20],mx,x,y,k;
 8 int gcd(int a,int b) { return b==0?a:gcd(b,a%b); }
 9 void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
10 {
11     if(b==0) { x=1; y=0; return;}
12     exgcd(b,a%b,x,y);
13     int t=x;
14     x=y; y=t-a/b*y;
15 }
16 bool check(int m)
17 {
18     for (int i=1;i<=n;i++)
19         for (int j=i+1;j<=n;j++)
20         {
21             int a=p[i]-p[j],b=m,c1=c[j]-c[i],d=gcd(a,b),x,y;
22             if (c1%d==0)
23             {
24                 a/=d; b/=d; c1/=d;
25                 exgcd(a,b,x,y);
26                 b=abs(b);
27                 x=((x*c1)%b+b)%b;
28                 while (!x) x+=b;
29                 if (x<=min(l[i],l[j])) return false;
30             }
31         } 
32     return true;
33 }
34 int main()
35 {
36     scanf("%d",&n);
37     for (int i=1;i<=n;i++)
38     {
39         scanf("%d%d%d",&c[i],&p[i],&l[i]);
40         mx=max(c[i],mx);
41     }
42     while (!check(mx)) mx++;
43     printf("%d\n",mx);
44     return 0;
45 }