Fibonacci

Fibonacci

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Problem Description 2007年到来了。经过2006年一年的修炼，数学神童zouyu终于把0到100000000的Fibonacci数列 (f[0]=0,f[1]=1;f[i] = f[i-1]+f[i-2](i>=2))的值全部给背了下来。 接下来，CodeStar决定要考考他，于是每问他一个数字，他就要把答案说出来，不过有的数字太长了。所以规定超过4位的只要说出前4位就可以了，可是CodeStar自己又记不住。于是他决定编写一个程序来测验zouyu说的是否正确。

Input 输入若干数字n(0 <= n <= 100000000)，每个数字一行。读到文件尾。

Output             输出f[n]的前4个数字（若不足4个数字，就全部输出）。

Sample Input 0 1 2 3 4 5 35 36 37 38 39 40

Sample Output 0 1 1 2 3 5 9227 1493 2415 3908 6324 1023

Author daringQQ

Source Happy 2007

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一道数学题，首先已知 斐波那契数列的通项公式：

an=1/√5 [（1/2+√5/2）^ n-（1/2-√5/2）^n](n=1,2,3.....）（√5表示根号 5）

即为：

又因为  log10(1-((1-√5)/(1+√5))^n) 无限趋近于0，所以上述公式可写成

log10(F(n)) = log10(1/√5) +nlog10((1+√5)/2) 

又因为对数存在如下性质：

loga(b^c)=c*loga(b),loga(b*c)=loga(b)+loga(c);
假设给出一个数10234432,那么log10(10234432)=log10(1.0234432*10^7)=log10(1.0234432)+7;

log10(1.0234432)就是log10(10234432)的小数部分.

log10(1.0234432)=0.010063744
10^0.010063744=1.023443198

由上述性质可知，因为是要计算F(n)的值，如果超过四位，只需取前四位数字即可。则：

令 tmp =  log10(1/√5) +nlog10((1+√5)/2) 

F(n) = pow(10, tmp - floor(tmp)) 

为了方便我们计算出超过四位的前四位的F(n)，因为 斐波那契数列的第22个数值（10946）才会超过4位，因此我们需要对数列的前20个数值单独通过斐波那契数列的性质计算出来：F(n)=F(n-1)+F(n-2)

code

#include <iostream>

using namespace std;

int main()
{
    int n;
    int f[21] = { 0 };

    double an1 = log10((1.0 / sqrt(5)));
    double an2 = log10((1.0 + sqrt(5)) / 2.0);

    f[0] = 0;
    f[1] = 1;
    for (int i = 2; i < 21; i++)
    {
        f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
    }

    while (cin >> n) // c++表明读到文件尾结束
    {
        if (n < 21)
        {
            cout << f[n] <<endl;
        }
        else
        {
            double tmp = an1 + n * an2;
            tmp -= floor(tmp);
            tmp = pow(10, tmp);
            int result = tmp * 1000;
            cout << result << endl;
        }
    }
 
    return 0;
}