『数论浅谈:素数』

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素数(prime)

定义

如果大于1的正整数p仅有的正因子是1和p, 则称p为素数。

与之对应，在自然数中，不是质数的就是合数，其定义如下：
合数(compound):大于1又不是素数的正整数称为合数。

本篇博客我们探讨关于素数在oi中的一些问题。

先注意到一句关于合数的说明：
如果n是合数, 则n必有一个小于或等于n^1/2的素因子。这句话极易用反证法证明，这边不再赘述。但在后面的应用中，它将为我们算法的时间复杂度做出巨大的贡献。

素数的判断

求解1~n所有的素数。
想想，我们怎样判断一个数x是不是素数？
显然，最暴力的方法就是枚举2~x-1之间的所有数，判断是否有一个数i能整除x，如果存在，则x不为素数。那么这种算法的时间复杂度为O(N)。显然，在求解1~n所以的素数时会超时，上文中已经提到:如果n是合数, 则n必有一个小于或等于n^1/2的素因子，那么我们其实枚举1~x^1/2的数就可以判断了，其代码如下：

inline bool check(k)
{
    for(int i=2;i*i<=k;i++)
    if(k%i==0)return 0;
    return 1;
}

那么，一一判断1~n中的每个数是不是素数即可，时间复杂度上限为O(n·n^1/2)，即O(n^3/2)。
在某些时候，O(n^3/2)的时间复杂度显然是不够的，这个算法主要用于判断素数，但在1~n所以素数的求解中，我们需要更快的算法。

埃式筛法

对于求1~n所有的素数，我们考虑如下方法：我们由算术基本定理得知，每个合数必然由若干个素因子的若干次方相乘得到，所以我们可以通过已经找到的素数，并不断排除他们的倍数，对他们标记为不是素数，就能在O(nlog₂n)的时间内得到1~n直接的1所以素数。

e.g.

2是素数, 删除2*2, 2*3, 2*4, …, 2*50
第一个没被删除的是3, 删除3*3, 3*4,3*5,…,3*33
第一个没被删除的是5, 删除5*5, 5*6, … 5*20
得到素数p时, 需要删除p*p, p*(p+1), …p*[n/p], 运算量为[n/p]-p, 其中p不超过n^1/2

代码实现如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool isPrime[100080]={};
int n,Prime[100080]={},cnt=0;
void Search()
{
    memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
    isPrime[0]=false;isPrime[1]=false;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(isPrime[i]) Prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=n;j++)
        {
            isPrime[i*Prime[j]]=0;
            if(!(i%Prime[j])) break;
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    Search();
    for(int i=1;i<=n;i++)if(isPrime[i])cout<<i<<' '; 
    cout<<endl;
    return 0;
}

欧拉筛法

在模拟埃式筛法的过程中，不难发现有些数字被“筛”了好多次，造成了时间复杂度的浪费。我们若考虑一种时间复杂度为线性的筛法，我们尝试解决重复问题。

线性筛法的核心原理就是一句话：每个合数必有一个最大因子（不包括它本身，用这个因子把合数筛掉。）还有另一种说法（每个合数必有一个最小素因子，用这个因子筛掉合数）

e.g.

2：筛掉4
3：筛掉6，9
4：筛掉8
5：筛掉10,15,25
6：筛掉12
7：筛掉14,21,35,49
8：筛掉16
9：筛掉18,27
10：筛掉20
11：筛掉22
12: 筛掉24
13: 筛掉26
14: 筛掉28
15: 筛掉30

我们通过不断筛选得到的素数表来相乘，再次筛选，停止筛选有两种情况：
1 素数表中的数已经使用完毕，继续筛选必定是重复操作，停止。
2 素数表中的素数整除了当前的数，也就是说，如果继续下筛，那么这个筛的数字必然存在更小的素因子，就必然存在未来的某个更大的因子，是一定会在未来被筛去的，所以停止，现在不用筛。
（注意这句话：每个合数必有一个最大因子（不包括它本身，用这个因子把合数筛掉。）还有另一种说法（每个合数必有一个最小素因子，用这个因子筛掉合数））

这样，我们就能做到线性筛了，时间复杂度O(N)，代码实现如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
bool isPrime[100080]={};
int n,Prime[100080]={},cnt=0;
void Search()
{
    memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
    isPrime[0]=false;isPrime[1]=false;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(isPrime[i]) Prime[++cnt]=i;
        for(int j=1;j<=cnt&&i*Prime[j]<=n;j++)
        {
            isPrime[i*Prime[j]]=0;
            if(!(i%Prime[j])) break;
        }
    }
}
int main()
{
    cin>>n;
    Search();
    for(int i=1;i<=n;i++)if(isPrime[i])cout<<i<<' '; 
    cout<<endl;
    return 0;
}

<后记>

<废话>