[NOIp2014] 飞扬的小鸟

洛谷题号：P1941

出处： NOIp2014提高组Day1T3

主要算法：DP(背包)

难度：4.8

思路分析：

这道题目去年就听说了，一直没敢做。之前不知道为什么被讲的那么复杂，现在仔细总结一下，其实不难。

　　既然早就知道了这道题是DP，思维难度就减少了不少。令f[i][j]表示小鸟飞到(i,j)时最少的点击屏幕次数。并且早就听说了是个背包——往上飞可以连续点击多下，是完全背包；往下飞可以选择掉或者不掉，是01背包。于是随便yy一下方程就出来了：枚举i，j。在完全背包时先暴力一点枚举一层k吧，那么就有f[i][j] = Min(f[i][j], f[i-1][j-x[i-1]*k] + k)；01背包更简单了，f[i][j] = Min(f[i][j], f[i-1][j+y[i-1]])；并且要注意水管的问题——如果当前的点(i,j)是水管，那么没法更新；如果子结构的坐标是水管，那也没法更新？（真的是这样吗？？？并不是，后文会解释）。

　　在看一眼题目，n=10000,m=1000，O(n^3)的完全背包肯定不行。这时候就好考察我们的基础知识了——完全背包的优化：将三层循环转化为二层循环。还记得为什么能转成二维吗？第二层正着扫，并且将f[i-1][j]改为f[i][j]，调用这一层已经调用过的部分，让物品的效果叠加，达到完全背包的效果。那么这里是不是也可以叠加？可以，也就是让f[i][j] = Min(f[i][j], f[i][j-x[i-1]] + 1)；

　　真的只有那么简单就搞定了吗？这道题读题也是个坑点：

小鸟高度等于

$最后在统计答案的时候，我们只需要看一看结尾是不是全是INF。如果不能够到达结尾，再n^2枚举一遍，找到最后一个不是INF的点，看看经过了多少个水管就行了。$

代码注意点：

　　f数组先置成∞

Code

/*By QiXingzhi*/
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define  r  read()
#define  Max(a,b)  (((a)>(b)) ? (a) : (b))
#define  Min(a,b)  (((a)<(b)) ? (a) : (b))
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 10010;
const int M = 1010;
const int INF = 1061109567;
inline int read(){
    int x = 0; int w = 1; register int c = getchar();
    while(c ^ '-' && (c < '0' || c > '9')) c = getchar();
    if(c == '-') w = -1, c = getchar();
    while(c >= '0' && c <= '9') x = (x << 3) +(x << 1) + c - '0', c = getchar();
    return x * w;
}
int n,m,k,ans,ans2,_p,ok;
int x[N],y[N],L[N],H[N];
int f[N][M];
inline bool can_be(int i, int j){
    if(i == 0) return 1;
    if(j == 0) return 0;
    if(L[i] >= j) return 0;
    if(H[i] && H[i] <= j) return 0;
    return 1;
}
inline void DP(){
    for(int i = 1; i <= n; ++i){
        for(int j = x[i-1]+1; j <= m; ++j){
            if(j == m){
                for(int z = m - x[i-1]; z <= m; ++z){
                    f[i][j] = Min(f[i][j], f[i-1][z] + 1);
                    f[i][j] = Min(f[i][j], f[i][z] + 1);
                }
            }
            f[i][j] = Min(f[i][j], f[i-1][j - x[i-1]] + 1);
            f[i][j] = Min(f[i][j], f[i][j - x[i-1]] + 1);
        }
        for(int j = 1; j <= m; ++j){
            if(!can_be(i,j)) continue;
            if(j + y[i-1] <= m){
                if(can_be(i-1,j+y[i-1])){
                    f[i][j] = Min(f[i][j], f[i-1][j+y[i-1]]);    
                }
            }
        }
        if(L[i] != 0){
            for(int j = 0; j <= L[i]; ++j){
                f[i][j] = INF;
            }        
        }
        if(H[i] != 0){
            for(int j = H[i]; j <= m; ++j){
                f[i][j] = INF;
            }    
        }
    }
    for(int j = 1; j <= m; ++j){
        if(f[n][j] != INF){
            ok = 1;
            ans = Min(ans,f[n][j]);
        }
    }
    if(!ok){
        int res = 0;
        for(int i = 0; i <= n; ++i){
            for(int j = 1; j <= m; ++j){
                if(f[i][j] != INF){
                    if(L[i]!=0||H[i]!=0){
                        ++res;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        ans2 = Max(ans2, res);
    }
}
int main(){
//    freopen(".in","r",stdin);
    ans = INF;
    n = r, m = r, k = r;
    for(int i = 0; i < n; ++i){
        x[i] = r;
        y[i] = r;
    }
    for(int i = 1; i <= k; ++i){
        _p = r;
        L[_p] = r;
        H[_p] = r;
    }
    memset(f,0x3f,sizeof(f));
    for(int i = 1; i <= m; ++i){
        f[0][i] = 0;
    }
    DP();
    printf("%d\n",ok);
    if(ok!=0) printf("%d",ans);
    else printf("%d",ans2);
    return 0;
}