BZOJ3293 [Cqoi2011]分金币（BZOJ1045/1465、洛谷P3156/2512）

数学题

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BZOJ3293 BZOJ1045 BZOJ1465
洛谷P3156 洛谷P2512

三倍经验。。。

我们设第$i$个人向第$i+1$个人传递了$x_i$个糖果，$sum$为最终每个人手上的糖果（也就是平均值），那么我们可以得到一个方程组：

$$a_1-x_1+x_2=sum\\ a_2-x_2+x_3=sum\\ a_3-x_3+x_4=sum\\ \vdots\\ a_n-x_n+x_1=sum$$
记 $s_i=\sum_{j=1}^ia_j-sum$，移向后可得：
$$x_2=x_1+sum-a_1=x_1-s_1\\ x_3=x_2+sum-a_2=2sum-a_2-a_1+x_1=x_1-s_2\\ x_4=x_3+sum-a_3=3sum-a_3-a_2-a_1+x_1=x_1-s_3\\ \vdots\\ x_n=x_1-s_{n-1}$$

即求$\min\{\sum|x_i|\}$。因为$|x_1-s_i|$的几何意义为在数轴上点$x_1$到$s_i$的距离，用初中学过的知识可以知道是在中位数取到（当$n$为偶数时取最中间两个之间的数都可以）

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define N 1000005
#define abs(x) ((x)>0?(x):-(x))
using namespace std;
typedef long long LL;
LL n,t,ans,sum,a[N],s[N];
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]),sum+=a[i];
    sum=sum/n;
    for (int i=1;i<=n;i++) a[i]-=sum;
    for (int i=1;i<=n;i++) s[i]+=s[i-1]+a[i];
    sort(s+1,s+n+1),t=s[(n+1)/2];
    for (int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(s[i]-t);
    return printf("%lld\n",ans),0;
}