Yali7月集训Contest2 T1 Cube 题解

• 题目链接：

  连我们都只有纸质题目...话说雅礼集训都是这样的吗...

• 大意

  0维基本图形是一个点

  1维基本图形是一条线段

  2维基本图形是一个正方形

  3维基本图形是一个正方体

  4维基本图形是...

  求\(n\)维基础图形中有多少个\(m\)维基础图形\((n>=m)\)并对\(998244353\)取模

• 分析

  手玩样例打表吼啊

  当然还是要暗中观察一下啦

  线段变成正方形,点数变为原来两边，边数除了变为原来两倍之外还要加上原来点数所对应连起来的边

  正方形变正方体也类似

  于是我就yy出一个递推式\(num[x][m]=num[x-1][m]*2+num[x-1][m-1]\)

  \(num[x][m]\)表示\(x\)维基础图形中含有\(m\)维基础图形的数量

  然后我们可以打一张表

  然后就有dalao发现了规律（我比较傻考场上都手玩出每一项能整除2的幂都没发现规律）

  \(num[n][m]/2^{n-m}=C^n_m\)

  然后就ok了

• 注意

  在订正这道题时发现几个值得注意的地方

  • 线性求逆元时我原来的方法不行

    原来我这么线性求逆元

    inv[i]=(-(p/i)*inv[p%i]%p);

    结果我发现数字一大就GG了

    这是大佬的线性求逆元

    inv[i]=(ll)(p-(p/i))*inv[p%i]%p;

    这就很稳了

  • 一个有趣的性质

    逆元的阶乘是原来数字阶乘的逆元

    很有趣，好象可证

• 代码：

  #include <iostream>
  #include <cstdio>
  #include <cstdlib>
  #include <algorithm>
  #include <cstring>
  #include <cctype>
  #include <map>
  #define ri register int 
  #define ll long long 
  using namespace std;
  const int maxn=100005;
  const int inf=0x7fffffff;
  const int p=998244353;
  template <class T>inline void read(T &x){
   x=0;int ne=0;char c;
   while(!isdigit(c=getchar()))ne=c=='-';
   x=c-48;
   while(isdigit(c=getchar()))x=(x<<3)+(x<<1)+c-48;
   x=ne?-x:x;
   return ;
  }
  int inv[maxn],twopow[maxn],fac[maxn];
  inline void pre(){
   inv[0]=inv[1]=1,fac[1]=1,twopow[0]=1,twopow[1]=2;
   for(ri i=2;i<=100002;i++){
       fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%p;
       inv[i]=(ll)(p-(p/i))*inv[p%i]%p;
       twopow[i]=(ll)(twopow[i-1]<<1)%p;
       //cout<<fac[i]<<' '<<inv[i]<<' '<<twopow[i]<<endl;
   }
   for(ri i=2;i<=100002;i++){
       inv[i]=(ll)inv[i]*inv[i-1]%p;//比较神奇,逆元的阶乘是原来数的阶乘的逆元
   }
   return ;
  }
  int t;
  inline int solve(int m,int n){
   if(m==0)return twopow[n];
   if(n==m)return 1;
   return (ll)fac[n]*inv[n-m]%p*twopow[n-m]%p*inv[m]%p;
  }
  int main(){
   int n,m;
   read(t);
   pre();
   while(t--){
       read(n),read(m);
       printf("%d\n",solve(m,n));
   }
   return 0;
  }