一、问题描述
在路网中，已知站点、线路和线路-站点数据，有条件：1、考虑到换乘时要花费一定的时间，因此对换乘路径费用要加上换乘时间。2、当路网复杂时，为了避免多余计算，定义有效路径，使得路径在有效路径范围内。有效路径为最短路径的(1+h)倍。求满足条件的K短路。
二、算法描述
1.K短路算法：
Step1：令k=1，求出最短路，并加上t换乘；
Step2：k=k+1，求出k短路，并加上t换乘；
Step3：判断，if是有效路径，保存并转Step2；else转Step4；
Step4：删除路径，结束。
2.换乘时间算法(假设换乘时间基于换乘次数)：
if 路径所有站点都在线路j上，n=0；
else if 存在i站点，使得起点到i的所有站点都在线路j1上，i到终点的所有站点都在j2上，则n=1；
else if 存在i1、i2，使得起点到i1的所有站点都在线路j1上，i1到i2间所有站点都在j2上，i2到终点的所有站点都在j3上，则n=2；
else n=∞；
t换乘=n*换乘一次的平均时间。
三、算法程序
使用说明：将以下代码分别保存为m文件放在同一个目录下，注意名称不能错，修改案例请打开luwangshuju.m，运行程序请打开KSP.m。
1.fuhaoshuoming.mfprintf('======================================================================\n'); fprintf(' 《换乘方案算法——不对方案排序》\n'); fprintf('运行环境：MATLAB 8.3.0.532 \n'); fprintf('作者信息：兰州交通大学 刘志祥 QQ：531548824\n'); fprintf('说明：本程序用于在已知路网数据时，通过输入起讫点求直达、一次、二次换乘方案。\n') fprintf('======================================================================\n\n'); %% 符号体系 %% 路网数据符号 %========================================================================== % luwangshuju-路网数据，包括站数据（点编号），线数据（线编号），站—线数据（站与线的0-1矩阵，表示站是否在线上），线-站数据（线与站的0-1矩阵，表示线是否包含站），路权数据（如行驶时间或距离）。 % A-起点 % B-终点 % zhan-站集合，本程序中站点以V开头编号 % xian-线集合，可理解为公交车名称，如k102等 % zhan_xian-线与站的关系，表示线路上有哪些站点 %========================================================================== %% 数据处理符号 %========================================================================== % zhan_xian_01-线与站的01矩阵，行表示线，列表示站，0表示不在该线，1表示在该线上 % xian_zhan_01-站与线的01矩阵，行表示站，列表示线，0表示线不经过站，1表示经过，与zhan_xian_01互为转置矩阵 %========================================================================== %% 换乘次数符号 %========================================================================== % KHc_cishu-换乘次数 % KHc_hcd-换乘点 % KHc_hcqj-换乘区间 % KHc_hcld_a-换乘路段 %========================================================================== %% K短路算法符号 %========================================================================== % KPaths-有效路径 % KCosts-有效路径的费用（本文指时间） %==========================================================================
2.luwangshuju.m%========================================================================== % 路网数据 % 运行可得基础路网数据 % 主要计算结果：【输入起讫点 得到路网的站-线-权数据 】 %========================================================================== %% 输入始发点和目的地 % O=input('O='); % D=input('D='); O=2; D=9; %========================================================================== %% 数据for K短路算法 %========================================================================== % 例1 % Road_Net =[ % 0 3 2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf % 3 0 Inf 1 3 Inf Inf Inf 2 % 2 Inf 0 Inf 2 Inf Inf Inf Inf % Inf 1 Inf 0 Inf 3 Inf Inf Inf % Inf 3 2 Inf 0 4 3 Inf Inf % Inf Inf Inf 3 4 0 Inf Inf Inf % Inf Inf Inf Inf 3 Inf 0 2 Inf % Inf Inf Inf Inf Inf Inf 2 0 Inf % Inf 2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0]; % zhan=[1 2 3 4 5 6 7 8 9]; %站数据 % xian=[1 2 3 4 5 6]; %线路数据 % xian_zhan={[1 2 4 6],[1 3 5 7 8],[9 2 5 6],[6 4 2 1],[8 7 5 3 1],[6 5 2 9]};%线路包含哪些站 % ========================================================================== % 例2 %========================================================================== Road_Net =[ 0 2 Inf 3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 2 0 4 Inf 4 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 3 Inf Inf 4 0 Inf Inf 3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 3 Inf Inf 0 8 Inf 2 Inf Inf 4 Inf Inf Inf Inf 4 Inf 8 0 9 Inf 2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 3 Inf 9 0 Inf Inf 4 Inf 5 Inf Inf Inf Inf Inf 2 Inf Inf 0 3 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 2 Inf 3 0 6 Inf Inf Inf 3 Inf Inf Inf Inf Inf 4 Inf 6 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 4 Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 5 Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf 2 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 3 Inf Inf Inf Inf 0]; zhan=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13]; %站数据 xian=[1 2 3 4 5 6]; %线路数据 xian_zhan={[1 2 3 6 9 8 7 4],[10 4 5 6 11],[12 2 5 8 13],[4 7 8 9 6 3 2 1],... [11 6 5 4 10],[13 8 5 2 12]}; %线路包含哪些站,注意要和roadnet对应起来,如果线路的始发站和终点站直接相连，即为环线。 %========================================================================== Cost_of_Transfer=2.5; H=1; a=0; Kmax=inf; %==========================================================================
3.shujuchuli.m%========================================================================== % 数据处理 % 运算依赖于luwangshuju.m % 主要运算结果【得到普通线站关系的01矩阵】... %========================================================================== %以下代码用于换乘算法 %% 线_站单元数组转换为01矩阵 %========================================================================== xian_zhan_01=zeros(length(xian),length(zhan)); for i=1:length(xian) xian_zhan_01(i,xian_zhan{i})=1; end zhan_xian_01=xian_zhan_01'; %========================================================================== %以下代码用于K短路算法 %% 根据路网对路段进行自动标号并求出每个路段的距离 %========================================================================== for i=1:length(Road_Net) for j=1:length(Road_Net) if Road_Net(i,j)~=0&Road_Net(i,j)~=inf a=a+1; luduan_zhan{a}={i,j}; W_luduan{a}=Road_Net(i,j); end end end %==========================================================================
4.huanchengcishu.m%========================================================================== % 换乘次数 % 被KSP.m调用才可计算 % 主要运算结果【换乘次数、换乘点、换乘区间、换乘路段】 %========================================================================== KHc_hcd{k}=[]; KHc_hcqj{k}=[]; KHc_hcld_a{k}=[]; %% 直达线路 %========================================================================== KHc_cishu=length(luduan_zhan); %最大换乘次数 m1=1; m2=length(KPaths{k}); for j1=1:length(xian_zhan) if all(ismember(KPaths{k}(m1:m2),xian_zhan{j1})) if find(O==xian_zhan{j1})<find(D==xian_zhan{j1}) KHc_cishu=0; KHc_hcd{k}={[]}; KHc_hcqj{k}={[]}; KHc_hcld_a{k}={[]}; end end end %========================================================================== %% 一次换乘 %========================================================================== for i=2:length(KPaths{k})-1 for j1=1:length(xian_zhan) for j2=1:length(xian_zhan) if KHc_cishu~=0 if all(ismember(KPaths{k}(1:i),xian_zhan{j1})) & all(ismember(KPaths{k}(i:length(KPaths{k})),xian_zhan{j2}))& j1~=j2 if find(O==xian_zhan{j1})<find(KPaths{k}(i)==xian_zhan{j1})& find(D==xian_zhan{j2})>find(KPaths{k}(i)==xian_zhan{j1}) KHc_cishu=1; KHc_hcd{k}={KPaths{k}(i)}; KHc_hcqj{k}={[KPaths{k}(i) KPaths{k}(i+1)]}; for a=1:length(luduan_zhan) if [KPaths{k}(i) KPaths{k}(i+1)]==cell2mat(luduan_zhan{a}) KHc_hcld_a{k}={a}; end end end end end end end end %========================================================================== %% 二次换乘 %========================================================================== for i1=2:length(KPaths{k})-1 for i2=i1:length(KPaths{k})-1 for j1=1:length(xian_zhan) for j2=1:length(xian_zhan) for j3=1:length(xian_zhan) if KHc_cishu~=0&KHc_cishu~=1 if all(ismember(KPaths{k}(1:i1),xian_zhan{j1})) & all(ismember(KPaths{k}(i1:i2),xian_zhan{j2}))& all(ismember(KPaths{k}(i2:length(KPaths{k})),xian_zhan{j3})) if j1~=j2 &j2~=j3 &j1~=j3&KPaths{k}(i1)~=KPaths{k}(i2) if(find(O==xian_zhan{j1})<find(KPaths{k}(i1)==xian_zhan{j1})) & find(KPaths{k}(i1)==xian_zhan{j2})<find(KPaths{k}(i2)==xian_zhan{j2}) & find(D==xian_zhan{j3})>find(KPaths{k}(i2)==xian_zhan{j3}) KHc_cishu=2; KHc_hcd{k}={KPaths{k}(i1) KPaths{k}(i2)}; KHc_hcqj{k}={[KPaths{k}(i1) KPaths{k}(i1+1)];[KPaths{k}(i2) KPaths{k}(i2+1)]}; for a1=1:length(luduan_zhan) for a2=1:length(luduan_zhan) if [KPaths{k}(i1) KPaths{k}(i1+1)]==cell2mat(luduan_zhan{a1})&[KPaths{k}(i2) KPaths{k}(i2+1)]==cell2mat(luduan_zhan{a2}) KHc_hcld_a{k}={a1 a2}; end end end end end end end end end end end end %==========================================================================
5.dijkstra.mfunction [shortestPath, totalCost] = dijkstra(netCostMatrix, s, d) n = size(netCostMatrix,1); for i = 1:n farthestPrevHop(i) = i; farthestNextHop(i) = i; end visited(1:n) = false; distance(1:n) = inf; parent(1:n) = 0; distance(s) = 0; for i = 1:(n-1), temp = []; for h = 1:n, if ~visited(h) temp=[temp distance(h)]; else temp=[temp inf]; end end; [t, u] = min(temp); visited(u) = true; for v = 1:n, if ( ( netCostMatrix(u, v) + distance(u)) < distance(v) ) distance(v) = distance(u) + netCostMatrix(u, v); parent(v) = u; end; end; end; shortestPath = []; if parent(d) ~= 0 t = d; shortestPath = [d]; while t ~= s p = parent(t); shortestPath = [p shortestPath]; if netCostMatrix(t, farthestPrevHop(t)) < netCostMatrix(t, p) farthestPrevHop(t) = p; end; if netCostMatrix(p, farthestNextHop(p)) < netCostMatrix(p, t) farthestNextHop(p) = t; end; t = p; end; end; totalCost = distance(d);
6.KSP.mclear clc %% =============================================================== % K短路算法+换乘算法 % 运算调用huanchengcishu.m % 主要运算结果【KPaths KCosts Mxf】 %========================================================================== %% 1. 输入并处理相关的路网数据 %========================================================================== luwangshuju; shujuchuli; k=1; n=0; %========================================================================== %% 2. K短路算和换乘算法结合，求出有效路径 %========================================================================== if ismember([O D],zhan) & O~=D %% 2.1 调用Dijkstra算法求出最短路路径及费用 [path costs]=dijkstra(Road_Net, O, D); if isempty(path) KPaths=[]; KCosts=[]; else %% 2.2 初始化 path_number = 1; %路径从1开始编号 P{path_number,1}= path; %单元数组P第一行表示路径 P{path_number,2}= costs; %单元数组P第二行表示路径阻抗 current_P = path_number; size_X=1; X{size_X}={path_number; path; costs};%1-编号，2-路径，3-阻抗值 S(path_number)= path(1); %路径的开始站点 KPaths{k}= path; KCosts{k}= costs; %% 2.3 调用换乘次数函数 while (k<Kmax && size_X ~=0) huanchengcishu; %求出路径k的换乘次数 KHc_n{k}=KHc_cishu; KCosts{k}=KCosts{k}+KHc_cishu*Cost_of_Transfer;%求出考虑换乘后的总费用 costs=min(cell2mat(KCosts)); %更新最小费用 %% 2.4 删除非有效路径 if KCosts{k}>(H+1)*costs k=k-1; KCosts=KCosts(1:k); KPaths=KPaths(1:k); KHc_n=KHc_n(1:k); KHc_hcd=KHc_hcd(1:k); KHc_hcqj=KHc_hcqj(1:k); KHc_hcld_a=KHc_hcld_a(1:k); break end %% 2.5 关闭已搜索的路径 for i=1:length(X) if X{i}{1}== current_P size_X = size_X - 1; X(i)=[]; break; end end P_= P{current_P,1}; w = S(current_P); for i=1:length(P_) if w==P_(i) w_index_in_path=i; %找到w在路径中的位置 end end %% 2.6 更新路网矩阵 for index_dev_vertex= w_index_in_path:length(P_)- 1 temp_luwangjuzhen = Road_Net; for i = 1: index_dev_vertex-1 v = P_(i); temp_luwangjuzhen(v,:)=inf; temp_luwangjuzhen(:,v)=inf; end SP_sameSubPath=[]; index =1; SP_sameSubPath{index}=P_; for i=1:length(KPaths) if length(KPaths{i})>= index_dev_vertex %如果路径长度大于index_dev_vertex，即还没有完成搜索 if P_(1:index_dev_vertex)== KPaths{i}(1:index_dev_vertex) %对比当前路径和K路径的前index_dev_vertex个点，如果匹配，继续对比，否则为不匹配 index = index+1; %匹配成功则自动进入下一个节点对比 SP_sameSubPath{index}=KPaths{i}; end end end v_ = P_(index_dev_vertex); for j = 1: length(SP_sameSubPath) next=SP_sameSubPath{j}(index_dev_vertex+1); temp_luwangjuzhen(v_,next)=inf; end sub_P=P_(1:index_dev_vertex); costs_sub_P=0; for i=1:length(sub_P)-1 costs_sub_P=costs_sub_P+Road_Net(sub_P(i),sub_P(i+1)); end [dev_p c]= dijkstra(temp_luwangjuzhen, P_(index_dev_vertex), D); if ~isempty(dev_p) path_number=path_number+1; P{path_number,1}=[sub_P(1:end-1) dev_p]; %连接起点到终点的路径 P{path_number,2}= costs_sub_P + c ; %计算子路径及偏差定点到终点费用的和（最终费用） S(path_number)= P_(index_dev_vertex); size_X = size_X + 1; X{size_X}={path_number; P{path_number,1};P{path_number,2}}; % 更新当前数据（路径编号，路径，路径费用） end end %% 2.7 防错处理，如果指定路径数目大于路网穷举数目，防错，否则最后的结果会发生重复,也可能进入死循环。 if size_X > 0 shortestXCosts= X{1}{3}; %路径费用 shortestX= X{1}{1}; %判定路径 for i=2:size_X if X{i}{3}< shortestXCosts shortestX= X{i}{1}; shortestXCosts= X{i}{3}; end end current_P=shortestX; k=k+1; KPaths{k}= P{current_P,1}; KCosts{k}= P{current_P,2}; else k=k+1; end end end else warning('起点或终点不在指定路网中！按任意键请重新输入。。。'); pause KSP end %========================================================================== %% 3.有效路径 %% 3.1 保留有效路径并排序 %========================================================================== KCosts=cell2mat(KCosts); yxlj=find(KCosts<min(KCosts)*(1+H)); KCosts=KCosts(yxlj); [KCosts,yxlj]=sort(KCosts); KPaths=KPaths(yxlj); KHc_n=KHc_n(yxlj); KHc_hcd=KHc_hcd(yxlj); KHc_hcqj=KHc_hcqj(yxlj); KHc_hcld_a=KHc_hcld_a(yxlj); %========================================================================== %% 3.2 根据有效路径求得路径-路段的01矩阵 %========================================================================== Mxf=zeros(length(KPaths),length(luduan_zhan)); m=1; while m<=length(KPaths) for i=2:length(KPaths{m}) for k=1:length(luduan_zhan) if isequal(cell2mat(luduan_zhan{k}),KPaths{m}([i-1 i])) Mxf(m,k)=1; end end end m=m+1; end %========================================================================== %% 3.3 有效路径路径-换乘路段的01矩阵 %========================================================================== if ~isempty(KHc_hcld_a) M=zeros(size(Mxf)); for k=1:length(KPaths) M(k,[cell2mat(KHc_hcld_a{k})])=Cost_of_Transfer; end end %========================================================================== %% 4. 主要计算结果 %========================================================================== KPaths %有效路径 KCosts %有效路径的费用（本文指时间） KHc_n %换乘次数 KHc_hcd=KHc_hcd %换乘点 KHc_hcqj=KHc_hcqj %换乘区间 KHc_hcld_a %换乘路段 % Mxf %有效路径与路段的0-1矩阵（为Frank Wolfe算法调用） % M %路径-换乘路段的01矩阵（为Frank Wolfe算法调用） %==========================================================================
四、算例及运行结果
1.算例1
路网如图1所示，已知站数据、线数据及站-线数据。给定起点v4，终点v8。求路径方案。
1.1 运行结果
修改luwangshuju.m——qidian=4;zhongdian=8;
>> KSP
1.2数据整理KPaths = [1x5 double] [1x7 double] [1x5 double] KCosts = 14.0000 15.5000 17.0000 KHc_n = [2] [1] [2] KHc_hcd = {1x2 cell} {1x1 cell} {1x2 cell} KHc_hcqj = {2x1 cell} {1x1 cell} {2x1 cell} KHc_hcld_a = {1x2 cell} {1x1 cell} {1x2 cell}查看并整理得：v4到v8有3条有效路径，排序后为KPaths，费用为KCosts，换乘次数分别为KHc_n，换乘区间为KHc_hcqj（换乘区间是换乘点到其紧后节点），换乘路段为KHc_hcld_a，数据见表1。
表1 算例1计算结果
编号 KPaths KCosts KHc_n KHc_hcqj KHc_hcld_a k1 4->2->5->7->8 14 2 [2,5] [5,7] [5] [14] k2 4->2->1->3->5->7->8 15.5 1 [1,3] [2] k3 4->6->5->7->8 17 2 [6,5] [5,7] [16] [14]
2.算例2路网如图2所示，已知站数据、线数据及站-线数据。给定起点v2，终点v9。求路径方案。
图2 某简单路网结构图2.1 运行结果
修改luwangshuju.m——qidian=2;zhongdian=9;
>> KSP
KPaths = [1x4 double] [1x4 double] [1x6 double] KCosts = 11.0000 14.5000 16.0000 KHc_n = [0] [1] [0] KHc_hcd = {1x1 cell} {1x1 cell} {1x1 cell} KHc_hcqj = {1x1 cell} {1x1 cell} {1x1 cell} KHc_hcld_a = {1x1 cell} {1x1 cell} {1x1 cell}2.2数据整理查看并整理得：v2到v9有3条有效路径，排序后为KPaths，费用为KCosts，换乘次数分别为KHc_n，换乘区间为KHc_hcqj，换乘路段为KHc_hcld_a，数据见表2。表2 算例2计算结果
编号 KPaths KCosts KHc_n KHc_hcqj KHc_hcld_a k1 2->3->6->9 11 0 [] [] k2 2->5->8->9 14.5 1 [8,9] [25] k3 2->1->4->7->8->9 16 0 [] []
五、结论及展望
在路网站点、线路、站点-线路关系已知时，通过输入起讫点可以计算出路径及其换乘次数。考虑换乘费用和有效路径后，路径数量大大减少，而过滤掉的路径为多余路径，在实际走行中不必考虑。该算法将在多领域得到应用，例如流量分配方面。
六、代码下载
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