多重小数部分和的渐近式
最近（6月），我和马明辉考虑了如下 $k$ 重和式
\begin{equation}\label{eq:1}
\sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N}\dotsc \sum_{n_{k}=1}^{N}
\left\{ \frac{N}{n_1+n_2+\dotsb+n_k} \right\}
\end{equation}
的渐近估计，$\{\cdot \}$ 表示小数部分．和式取遍不超过 $N$ 的正整数 $n_1,n_2,\dotsc, n_k \in\mathbb{N}_{+}$.
当 $k=1$ 时，\eqref{eq:1} 式可由著名的 Dirichlet 除数问题得到，我们有
\begin{equation}\label{eq:2}
\sum_{n_1=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1} \right\} = (1-\gamma) N + O\big(\sqrt{N}\big)
\end{equation}
其中 $\gamma$ 是 Euler 常数．迄今， \eqref{eq:2} 式中余项最好的上界估计是 M.N. Huxley (2003) 的结果：
\begin{equation*}
O\left( N^{131/416} (\log N)^{26947/8320} \right).
\end{equation*}
特别地，当 $k=2,3,4$ 时，我们证明了如下结果：
\begin{align*}
\sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2} \right\}
& = \left(2\log2-\frac{\zeta(2)}{2}\right)N^2+O(N\log N) \\
\sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3} \right\} & = \left(\frac{9}{2}\log 3 - 6\log 2 - \frac{\zeta(3)}{6} \right) N^3
+ O(N^2) \\
\sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \sum_{n_4=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4} \right\} & = \left(\frac{88}{3}\log 2 - 18 \log 3 - \frac{\zeta(4)}{24} \right)N^{4} + O(N^3) \\
\sum_{n_1=1}^{N} \sum_{n_2=1}^{N} \sum_{n_3=1}^{N} \sum_{n_4=1}^{N} \sum_{n_5=1}^{N} \left\{ \frac{N}{n_1+n_2+n_3+n_4+n_5} \right\} & = \left(\frac{625}{24}\log 5+ \frac{135}{4}\log 3 - \frac{340}{3}\log 2 - \frac{\zeta(5)}{120} \right)N^{5} + O(N^4).
\end{align*}
当然我们也证明了 $k$ $(k\geqslant 2)$ 重和式的渐近公式．