最小路径覆盖问题

byvoid好神啊Orz
摘自byvoid的题解

【问题分析】

有向无环图最小路径覆盖，可以转化成二分图最大匹配问题，从而用最大流解决。

【建模方法】

构造二分图，把原图每个顶点i拆分成二分图X，Y集合中的两个顶点Xi和Yi。对于原图中存在的每条边(i,j)，在二分图中连接边(Xi,Yj)。然后把二分图最大匹配模型转化为网络流模型，求网络最大流。

最小路径覆盖的条数，就是原图顶点数，减去二分图最大匹配数。沿着匹配边查找，就是一个路径上的点，输出所有路径即可。

【建模分析】

对于一个路径覆盖，有如下性质：

1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。

所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。

注意，此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图，如果有环或是无向图，那么有可能求出的一些环覆盖，而不是路径覆盖。

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#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N=3550,inf=0x3f3f3f3f,S=0,T=302;
int n,m,head[N],ecnt=1,h[N];
struct Edge{int to,nxt,val;}e[N*N<<1];
void add(int bg,int ed,int val){
    e[++ecnt].nxt=head[bg];
    e[ecnt].to=ed;
    head[bg]=ecnt;
    e[ecnt].val=val;
}
std::queue<int>q;
bool bfs() {
    q.push(S);
    std::memset(h,-1,sizeof h);
    h[S]=0;
    while(!q.empty()) {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int v,i=head[u]; i; i=e[i].nxt) {
            v=e[i].to;
            if(h[v]==-1&&e[i].val) {
                h[v]=h[u]+1;
                q.push(v);
            }
        }
    }
    return h[T]!=-1;
}
int dfs(int x,int f) {
    if(x==T)return f;
    int used=0,tp;
    for(int i=head[x]; i; i=e[i].nxt) {
        int v=e[i].to;
        if(h[v]!=h[x]+1||!e[i].val)continue;
        tp=dfs(v,std::min(f-used,e[i].val));
        used+=tp,e[i].val-=tp;
        e[i^1].val+=tp;
        if(used==f)return f;
    }
    if(!used) h[x]=-1;
    return used;
}
bool vis[333];

void dfs(int x){
    for(int i=head[x];i;i=e[i].nxt){
        if(vis[e[i].to])continue;
        if(e[i].val==0&&e[i].to>n) {
            vis[e[i].to-n]=1;
            printf("%d ",e[i].to-n);
            dfs(e[i].to-n);return;
        }
    }
}
int maxflow;
void dinic() {
    while(bfs())maxflow+=dfs(S,inf);
}
void insert(int a,int b,int c){add(a,b,c);add(b,a,0);}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1,a,b;i<=m;i++) {
        scanf("%d%d",&a,&b);
        insert(a,b+n,1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) insert(S,i,1),insert(i+n,T,1);
    dinic();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(vis[i])continue;
        printf("%d ",i);vis[i]=1;
        for(int j=head[i];j;j=e[j].nxt){
            int v=e[j].to;
            if(v<=n) continue;
            if(vis[v-n]) continue;
            if(!e[j].val) vis[v-n]=1,printf("%d ",v-n),dfs(v-n); 
        }
        printf("\n");
    }
    printf("%d",n-maxflow);
}