一.简介
FFT即快速傅里叶变换，常用来加速多项式乘法，由此也可以变形用来解决其它问题。
二.多项式乘法
首先来看多项式乘法的定义：设有2个多项式
则C = A * B的第p项（从第0项开始）可以表示为：，C的项数为n+m。
直接模拟多项式乘法的时间复杂度为O(nm)，当n和m>10000时，肯定是不可取的。
这里可以用到FFT加速这一过程（原理就不说明了），可以使时间复杂度达到O((n+m)log(n+m))
三.FFT在字符串匹配上的应用
现在有2个字符串S和T，令m = |S|，n = |T|，设n <= m
假设S的第i个位置的字符与T的第j个位置的字符匹配，则可以表示为S[i] = T[j]
可知，假设S[i ... i + n - 1]与T[0 ... n - 1]匹配，则
上式是如何得到的呢？
因为需要将S[i ... i + n - 1]与T[0 ... n - 1]匹配，所以S[i] = T[0],S[i+1] = T[1],...,S[i + n - 1] = T[n - 1]，得到
将上式变成平方和的形式可以去掉负数和正数相加恰好等于0的情况。
但是这个式子还不能满足使用FFT的条件！
由于i + j + j不是一个定值，因此我们无法将上式转化成多项式乘法的形式。但我们可以将T进行翻转后可以发现，只要S[i] = T[n-1],S[i + 1] = T[n - 2],...,S[i + n - 1] = T[0]，就相当于翻转前的T与S[i...i + n - 1]匹配成功了。
上式可变换为：
可以看到上式中i + j + n - 1 - j = i + n - 1是一个固定值，即求多项式乘法F = S * T后F[i + n - 1]的值就是S[i...i + n - 1]与T[0...n - 1]匹配情况，只要F[i + n - 1] = 0，则表示S[i...i + n - 1]与T[0...n - 1]完全匹配。
但是上式带有平方的形式，我们可以化成下面3个多项式和的形式分别求卷积即可：
四.模板
const int MX = 1e6 + 5;
const int MAXL = MX * 4;
const double pi = acos (-1.0);
int len, res[MAXL], mx; //开大4倍
char s[MX], t[MX];
int a[MX], b[MX];
int T, n, m;
struct Complex {
double r, i;
Complex (double r = 0, double i = 0) : r (r), i (i) {};
Complex operator+ (const Complex &rhs) {return Complex (r + rhs.r, i + rhs.i);}
Complex operator- (const Complex &rhs) {return Complex (r - rhs.r, i - rhs.i);}
Complex operator* (const Complex &rhs) {return Complex (r * rhs.r - i * rhs.i, i * rhs.r + r * rhs.i);}
} va[MAXL], vb[MAXL];
void rader (Complex F[], int len) { //len = 2^M,reverse F[i] with F[j] j为i二进制反转
int j = len >> 1;
for (int i = 1; i < len - 1; ++i) {
if (i < j) swap (F[i], F[j]); // reverse
int k = len >> 1;
while (j >= k) {
j -= k;
k >>= 1;
}
if (j < k) j += k;
}
}
void FFT (Complex F[], int len, int t) {
rader (F, len);
for (int h = 2; h <= len; h <<= 1) {
Complex wn (cos (-t * 2 * pi / h), sin (-t * 2 * pi / h) );
for (int j = 0; j < len; j += h) {
Complex E (1, 0); //旋转因子
for (int k = j; k < j + h / 2; ++k) {
Complex u = F[k];
Complex v = E * F[k + h / 2];
F[k] = u + v;
F[k + h / 2] = u - v;
E = E * wn;
}
}
}
if (t == -1) //IDFT
for (int i = 0; i < len; ++i)
F[i].r /= len;
}
void Conv (Complex a[], Complex b[], int len) { //求卷积
FFT (a, len, 1);
FFT (b, len, 1);
for (int i = 0; i < len; ++i) a[i] = a[i] * b[i];
FFT (a, len, -1);
}
void gao() {
Conv (va, vb, len);
for (int i = 0; i < len; ++i) res[i] += va[i].r + 0.5;
}
void solve (int x, int y) {
len = 1;
mx = n + m;
while (len <= mx) len <<= 1; //mx为卷积后最大下标
for (int i = 0; i < len; i++) va[i].r = va[i].i = vb[i].r = vb[i].i = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) va[i].r = a[i];
for (int i = 0; i < m; i++) vb[i].r = b[i];
gao();
}