Can I Win 我能赢吗

在 "100 game" 这个游戏中，两名玩家轮流选择从 1 到 10 的任意整数，累计整数和，先使得累计整数和达到 100 的玩家，即为胜者。

如果我们将游戏规则改为 “玩家不能重复使用整数” 呢？

例如，两个玩家可以轮流从公共整数池中抽取从 1 到 15 的整数（不放回），直到累计整数和 >= 100。

给定一个整数 maxChoosableInteger （整数池中可选择的最大数）和另一个整数 desiredTotal（累计和），判断先出手的玩家是否能稳赢（假设两位玩家游戏时都表现最佳）？

你可以假设 maxChoosableInteger 不会大于 20， desiredTotal 不会大于 300。

示例：

输入：
maxChoosableInteger = 10
desiredTotal = 11

输出：
false

解释：
无论第一个玩家选择哪个整数，他都会失败。
第一个玩家可以选择从 1 到 10 的整数。
如果第一个玩家选择 1，那么第二个玩家只能选择从 2 到 10 的整数。
第二个玩家可以通过选择整数 10（那么累积和为 11 >= desiredTotal），从而取得胜利.
同样地，第一个玩家选择任意其他整数，第二个玩家都会赢。

思路：如果有两个玩家A和B，对于玩家A而言，赢得条件S如下：

1：当前可选的数字的上限即maxChoosableInteger大于等于desiredTotal

2：玩家B的下一局游戏肯定赢

条件1和条件2是或的关系，而对于条件2，玩家B同样递归调用赢的条件S，由于我们每次递归调用一定会调用之前所有没有选择过的数字并且desiredTotal都会减去当前选择过的数字，所以desiredTotal会不断减少总会有边界满足条件S的条件一，所以我们采用回溯法来完成这道题。回溯的核心方程如下：

if ((desiredTotal <= (i + 1)) || !canIWinCore(maxChoosableInteger, desiredTotal - i - 1, used | cur, m)) {
	m[used]=true;
	return true;
}

由于回溯法会大量重复计算子问题的解，所以我们定义一个类型为

unordered_map<int, bool> &m

的hashmap，保存每次遍历过子问题的情况，还有一个技巧在于如何保证存储的数字不重复呢？我们采用一个长度为数组20的数组，其下标表示出现的值。

参考代码：

class Solution {
public:
bool canIWinCore(int maxChoosableInteger, int desiredTotal, int used, unordered_map<int, bool> &m) {
	if (m.count(used)) {
		return m[used];
	}
	for (int i = 0; i < maxChoosableInteger; i++) {
		int cur = 1 << i;
		if ((cur & used) == 0) {
			if ((desiredTotal <= (i + 1)) || !canIWinCore(maxChoosableInteger, desiredTotal - i - 1, used | cur, m)) {
				m[used]=true;
				return true;
			}
		}
	}
	m[used] = false;
	return false;
}
bool canIWin(int maxChoosableInteger, int desiredTotal) {
	if (maxChoosableInteger >= desiredTotal) {
		return true;
	}
	if ((1 + maxChoosableInteger)*maxChoosableInteger / 2 < desiredTotal) {
		return false;
	}
	unordered_map<int, bool> m;
	return canIWinCore(maxChoosableInteger, desiredTotal, 0, m);
}
};

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