FZU 2168 防守阵地 I(公式推导)(经典)(中等)

Problem 2168 防守阵地 I

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Problem Description

部队中共有N个士兵，每个士兵有各自的能力指数Xi，在一次演练中，指挥部确定了M个需要防守的地点，按重要程度从低到高排序，依次以数字1到M标注每个地点的重要程度，指挥部将选择M个士兵依次进入指定地点进行防守任务，能力指数为X的士兵防守重要程度为Y的地点将得到X*Y的参考指数。现在士兵们排成一排，请你选择出连续的M个士兵依次参加防守,使得总的参考指数值最大。

Input

输入包含多组数据。

输入第一行有两个整数N,M(1<=N<=1000000，1<=M<=1000),第二行N个整数表示每个士兵对应的能力指数Xi（1<=Xi<=1000）。

对于30%的数据1<=M<=N<=1000。

Output

输出一个整数，为最大的参考指数总和。

Sample Input

    5 32 1 3 1 4 
  

Sample Output

17

思路：

这题肯定是不能暴力求解的，听说可以用什么线段树，我没试过。下面说说代码最少最快的公式推导：

例：
5 3
2 1 3 1 4
5个数，假设用a,b,c,d,e表示这5个数。有两个数组，sum[]，s[]（sum[i]表示前i 个数的和，s[i]表示前i 个sum[]的和）。
现在求1*a+2*b+3*c+4*d+5*e的和：
=a+b+c+d+e sum[5]
+b+c+d+e sum[5]-sum[1]
+c+d+e sum[5]-sum[2]
+d+e sum[5]-sum[3]
+e sum[5]-sum[4]
即：
1*a+2*b+3*c+4*d+5*e=5*sum[5]-(sum[1]+sum[2]+sum[3]+sum[4])。
现在题目求连续三个数*1*2*3的最大和。接着看：
当i=3：
3*sum[3]=3*(a+b+c)
1*a+2*b+3*c=3*sum[3]-(2*a+b)=3*sum[3]-(a+b+a)=3*sum[3]-(sum[2]+sum[1])=3*sum[3]-(s[2]);
i=4:
3*sum[4]=3(a+b+c+d)
b+2*c+3*d=3*sum[4]-(3*a+2*b+c)=3*sum[4]-(sum[1]+sum[2]+sum[3])=3*sum[4]-(s[3])
这时候如果认为公式就是：

m*sum[i]-s[i-1]

那就错了；

你看，当i=5时：

c+2d+3e=3*sum[5]-(3*a+3*b+2*c+d)=3*sum[5]-(sum[4]+sum[3]+sum[2]+sum[1]-sum[1]);

这明显和上面推导的公式不符。

这里我就不接着推了，公式是：

m*sum[i]-(s[i-1]-s[i-1-m])

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include<iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int L = 1000010;
int sum[L],s[L];

int main()
{
    int n,m,i,j,k,num;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        sum[0]=s[0]=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&num);
            sum[i]=sum[i-1]+num;
            s[i]=s[i-1]+sum[i];
        }
        if(n<=m)
        {
            printf("%d\n",sum[n]);
            continue;
        }
        int cnt,maxn=0;
        for(int i=m;i<=n;i++)
        {
            cnt=m*sum[i]-(s[i-1]-s[i-1-m]);
            maxn=max(maxn,cnt);
        }
        printf("%d\n",maxn);
    }
    return 0;
}