题目描述
给你一个序列 \(a_0,a_1,\ldots,a_{n-1}\)。你要进行 \(t\) 次操作，每次操作是把序列 \(x\) 变为序列 \(y\)，满足 \(y_i=\oplus_{j=0}^{k-1}x_{(i+j)\bmod n}\)。\(\oplus\) 表示异或。
求 \(t\) 次操作后的序列。
\(1\leq k\leq n\leq 500000,t\leq {10}^{18}\)
题解
设 \(f_{i,j}\) 为原序列进行 \(i\) 次操作后是哪些数的异或和。
设 \(F_i(x)=\sum_{j=0}^{n-1}f_{i,j}x^j\)
那么 \(F_i(x)=(1+x+\cdots x^{k-1})F_{i-1}(x)\)。
注意到模 \(2\) 意义下的多项式的平方是很好求的，只需要把所有 \(x^i\) 改成 \(x^{2i}\) 就好了。因为其他项的系数都是 \(2\)的倍数。
所以 \(F_{2^t}(x)=1+x^{2^t}+\cdots+x^{(k-1)2^t}\)，那么乘上 \(F_{2^t}(x)\) 就是
\[ y_i=\oplus_{j=0}^{k-1}x_{(i+j\times 2^t)\bmod n} \]
然后暴力算就可以了。
时间复杂度：\(O(n\log t)\)
代码
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<functional>
#include<cmath>
#include<vector>
//using namespace std;
using std::min;
using std::max;
using std::swap;
using std::sort;
using std::reverse;
using std::random_shuffle;
using std::lower_bound;
using std::upper_bound;
using std::unique;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef double db;
typedef std::pair<int,int> pii;
typedef std::pair<ll,ll> pll;
void open(const char *s){
#ifndef ONLINE_JUDGE
char str[100];sprintf(str,"%s.in",s);freopen(str,"r",stdin);sprintf(str,"%s.out",s);freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
int rd(){int s=0,c,b=0;while(((c=getchar())<'0'||c>'9')&&c!='-');if(c=='-'){c=getchar();b=1;}do{s=s*10+c-'0';}while((c=getchar())>='0'&&c<='9');return b?-s:s;}
void put(int x){if(!x){putchar('0');return;}static int c[20];int t=0;while(x){c[++t]=x%10;x/=10;}while(t)putchar(c[t--]+'0');}
int upmin(int &a,int b){if(b<a){a=b;return 1;}return 0;}
int upmax(int &a,int b){if(b>a){a=b;return 1;}return 0;}
const int N=500010;
bool c[N];
int a[N];
int b[N];
int d[N];
int n,k;
ll m;
int gcd(int a,int b)
{
return b?gcd(b,a%b):a;
}
int cnt;
int plus(int a,int b)
{
a+=b;
return a>=n?a-n:a;
}
int minus(int a,int b)
{
a-=b;
return a<0?a+n:a;
}
void gao(int t)
{
if(!t)
return;
memset(c,0,sizeof c);
memcpy(b,a,sizeof a);
int kk=k%(2*n/gcd(t,n));
for(int i=0;i<n;i++)
if(!c[i])
{
cnt=0;
for(int j=i;!c[j];j=plus(j,t))
d[++cnt]=j,c[j]=1;
int s=0;
int now=d[cnt];
for(int j=0;j<kk;j++,now=plus(now,t))
s^=b[now];
a[d[cnt]]=s;
for(int j=cnt-1;j>=1;j--)
{
now=minus(now,t);
s^=b[d[j]];
s^=b[now];
a[d[j]]=s;
}
}
}
int main()
{
open("b");
scanf("%d%d%lld",&n,&k,&m);
for(int i=0;i<n;i++)
a[i]=rd();
for(ll i=1;i<=m;i<<=1)
if(m&i)
gao(i%n);
for(int i=0;i<n;i++)
printf("%d ",a[i]);
return 0;
}