莎士比亚使用过 probable 这个单词，当时的意思是trust worthy （2333）
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16世纪以前，一些赌徒一定已经使用过概率论，只是没有记录在册
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保险业的基础是为独立事件担保，P（ABC...）= P(A)*P(B)*P(C).......
事件全部发生的概率非常小，只有保险公司卖出去的保单足够多，那么公司稳赚，几乎毫无风险。
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几何平均指的是 (x1*x2...*xn)**(1/n) 几何平均一定小于等于（当所有变量一样时取等号）算数平均
比如，连续十年投资，这些年每年的gross return(收益率+1）的平均应该是几何平均！
如果前九年的收益率为20%，最后一年为-100%，那么十年之后赔光了所有。
而使用求和平均的话，平均收益率为18%，显然这个数字不能反映真实情况。
而几何平均则为0
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D（x）= E ( (x-ux)**2 )
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当使用抽样来估计整体时，抽样集的均值的期望与总体的均值一致，但是抽样集的方差的期望等于（n-1）/n倍的总体方差。
故而，计算抽样集的方差时，除以（n-1）,而不是n，以得到总体的无偏估计。
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收益率需要高均值，低方差（意味着低风险）
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协方差，有两个随机变量时，反映两个变量的趋势相关性，趋势一样协方差为正，反之为负
相关系数（correlation）在（-1，1）之间
相关系数 = cov(x,y)/(sx*xy) 协方差 除以 标准差的乘积
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fat tailed distribution就是较宽的高斯分布
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present （discounted） value
银行承诺一年内给我一美元（银行不会不守信用，而且银行肯定会在一年结束才给我，因为银行可以用我的一美元去投资），那么我现在想要银行把这个钱给我，银行会给我多少呢？
1/(1+r) r是年利率
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consol(consolidated debt公债） perpetuity（永续年金）
假如每年给你一美元的coupon（兑换券），持续三年，那么present value是多少？
1/(1+r） + 1/(1+r)**2 + 1/(1+r)**3
如果是无限期兑换，每年c美元，那么present value就是 c/r 美元
可以看到，pv与利率成反比
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growing consol
一年后给你c美元，再过一年给你c*（1+g）美元，再过一年给你c*（1+g）**2美元，依此类推,永远兑换
#注，g小于r，因为这是常识
pv = c/(1+r) + [c*(1+g) / (1+r)**2] + [c*(1+g)**2 / (1+r)**3] +........
= c/(r-g)
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annuity年金
每年给你c元，持续n年，那么present value 是 C*[1 - （1 / 1-r)**n]/r
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utility function
diminishing marginal utility
人们对收益x元的满意度U-x曲线如下，可以看到，存在边际效用递减现象
富人少一点钱没什么影响，穷人多一点则会开心很多。
你可以将你有钱的月份匀一点到没钱的月份。。。因为你想要的是一年的快乐的平均值E[u(x)]最大
效用期望最大化理论（人们想要效用期望最大化）并不总是正确的，但这是一个核心概念。