题目描述
异或是一种神奇的运算,大部分人把它总结成不进位加法.
在生活中…xor运算也很常见。比如，对于一个问题的回答，是为1，否为0.那么：
（A是否是男生 ）xor（ B是否是男生）＝A和B是否能够成为情侣
好了，现在我们来制造和处理一些复杂的情况。比如我们将给出一颗树，它很高兴自己有N个结点。树的每条边上有一个权值。我们要进行M次询问，对于每次询问，我们想知道某两点之间的路径上所有边权的异或值。
输入输出格式
输入格式：
输入文件第一行包含一个整数N，表示这颗开心的树拥有的结点数，以下有N-1行，描述这些边，每行有3个数，u,v,w,表示u和v之间有一条权值为w的边。接下来一行有一个整数M，表示询问数。之后的M行，每行两个数u,v，表示询问这两个点之间的路径上的权值异或值。
输出格式：
输出M行，每行一个整数，表示异或值
输入输出样例
输入样例#1：
5
1 4 9644
2 5 15004
3 1 14635
5 3 9684
3
2 4
5 4
1 1
输出样例#1：
975
14675
0
说明
对于40%的数据，有1 ≤ N，M ≤ 3000；
对于100%的数据，有1 ≤ N ，M≤ 100000。
Solution
这道题有两种方法:
- 树链剖分
- DFS预处理异或前缀和
一.树链剖分
就是一个板子,直接把边权化为点权既可做.
时间复杂度 O(mlogn)
二. DFS处理异或处理前缀和
首先要知道异或的基本性质 :
\[{(x+y)}\bigoplus{y}=x\]
然后这道题,我们将边权转化为点权。
每次需要的是从 LCA(x,y)-x 以及 LCA(x,y)-y ;
然后我们记录根节点到每一个点的异或前缀和.
此时:
\[Ans={Xorsum_{x}}\bigoplus{Xorsum_{y}}\bigoplus{Xorsum_{LCA(x,y)}}\]
然后我们直接 DFS 预处理,然后 O(1)查询即可.
时间复杂度O(n+m)
代码
一.树链剖分
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=200008;
int n,m;
struct sj{
int to;
int next;
int w;
}a[maxn];
int size,head[maxn];
void add(int x,int y,int z)
{
a[++size].to=y;
a[size].w=z;
a[size].next=head[x];
head[x]=size;
}
int dep[maxn],fa[maxn];
int top[maxn],son[maxn];
int siz[maxn];
void dfs(int x)
{
siz[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=a[i].next)
{
int tt=a[i].to;
if(!siz[tt])
{
dep[tt]=dep[x]+1;
fa[tt]=x;
dfs(tt);
siz[x]+=siz[tt];
if(siz[tt]>siz[a[son[x]].to])
son[x]=i;
}
}
}
int id[maxn],num,c[maxn];
void dfs1(int x,int y)
{
top[x]=y;
if(son[x])
{
int tt=a[son[x]].to;
c[++num]=a[son[x]].w;
id[a[son[x]].to]=num;
dfs1(tt,y);
}
for(int i=head[x];i;i=a[i].next)
{
int tt=a[i].to;
if(!top[tt])
if(i!=son[x])
{
c[++num]=a[i].w;
id[a[i].to]=num;
dfs1(tt,tt);
}
}
}
int sgm[maxn*4];
void build(int node,int l,int r)
{
if(l==r)
{sgm[node]=c[l];return;}
int mid=(l+r)/2;
build(node*2,l,mid);
build(node*2+1,mid+1,r);
sgm[node]=(sgm[node*2]^sgm[node*2+1]);
}
int query(int node,int l,int r,int L,int R)
{
if(l>R||r<L)return 0;
if(l>=L&&r<=R)return sgm[node];
int mid=(l+r)/2;
return (query(node*2,l,mid,L,R))^(query(node*2+1,mid+1,r,L,R));
}
int check(int x,int y)
{
int ans=0;
while(top[x]!=top[y])
{
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
ans^=query(1,1,n,id[top[x]],id[x]);
x=fa[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
ans^=query(1,1,n,id[x]+1,id[y]);
return ans;
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z); add(y,x,z);
}
dfs(1); dfs1(1,1);
build(1,1,n);
cin>>m;
while(m--)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
cout<<check(x,y)<<endl;
}
}二.DFS预处理
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
int len,last[1001000],sum[1010000],k,p[35];
struct node
{
int to,next,w;
}a[1010000];
void add(int a1,int a2,int a3)
{
len++;
a[len].to=a2;
a[len].w=a3;
a[len].next=last[a1];
last[a1]=len;
}
void dfs(int x,int father)
{
for(int i=last[x];i;i=a[i].next)
{
int to=a[i].to;
if(to==father) continue;
sum[to]=sum[x]^(a[i].w);
dfs(to,x);
}
}
int main()
{
int n,x,y,z,ans=0;
cin>>n;
for(int i=1;i<n;i++)
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z),add(x,y,z),add(y,x,z);
dfs(1,0);
int m;
cin>>m;
for(int i=1;i<=m;i++)
scanf("%d%d",&x,&y),printf("%d\n",sum[x]^sum[y]);
}