【调制解调】FM 调频

说明

学习数字信号处理算法时整理的学习笔记。同系列文章目录可见 《DSP 学习之路》目录，代码已上传到 Github - ModulationAndDemodulation。本篇介绍 FM 调频信号的调制与解调，内附全套 MATLAB 代码。

1. FM 调制算法

1.1 FM 信号描述

用调制信号去控制载波的瞬时频率，使其按照调制信号的规律变化，当调制信号是模拟信号时，这个过程就被称为调频（FM）。FM 信号的时域表达式为：
$$s_{FM}(t)=Acos\left[{\omega }_{c}t+K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]\text{\hspace{1em}(1)}$$

式中：$A$ 为载波恒定振幅，$K_f$ 为调频灵敏度（单位 $rad/(s\cdot V)$），$m(t)$ 是调制信号（携带要发出去的信息），$cos{\omega }_{c}t$ 是载波，${\omega }_c$ 是载波角频率，与载波频率 $f_c$ 之间的关系为 ${\omega }_c=2\pi f_c$。由式 $(1)$ 可得 FM 信号相对于载频 ${\omega }_c$ 的瞬时频偏为：
$$\frac{d\left[K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]}{dt}=K_{f}m(t)\text{\hspace{1em}(2)}$$
由 $(1)$ 式可知 FM 信号相对于载波相位 ${\omega }_{c}t$ 的瞬时相位偏移随 $m(t)$ 的积分呈线性变化，由 $(2)$ 式可知 FM 信号相对于载频 ${\omega }_c$ 的瞬时频率偏移随 $m(t)$ 成线性变化，比例系数都为 $K_f$。有时候会用 $k_f$ 表示调频灵敏度（单位 $Hz/V$），它与 $K_f$ 之间的关系为 $K_f=2\pi k_f$，需注意这个转换关系。FM 的调频指数（调制指数） $\beta$ 定义如下，其中 $W$ 是基带信号（调制信号）$m(t)$ 的带宽（或最高频率）：
$$\beta =\frac{k_f|m(t){|}_{max}}{W}\text{\hspace{1em}(3)}$$
若 $m(t)$ 为单一频率的正弦波（即 $m(t)=A_{m}cos(2\pi f_{m}t)$ 时，此时 $W=f_m$），则调制指数的表达式如下，调制指数的值正好与最大相位偏移相同，其中 $\Delta f=\beta f_m$ 表示最大频偏。
$$\beta =\frac{K_f{A}_m}{{\omega }_m}=\frac{k_f{A}_m}{f_m}=\frac{\Delta f}{f_m}={\left[K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]}_{max}\text{\hspace{1em}(4)}$$
FM 信号的频域表达式比较复杂，下面分成窄带调频与宽带调频两种情况来简化讨论。

（1）窄带调频

一般将由 $m(t)$ 引起的最大瞬时相位偏移远小于 $30^{\circ }$ 的情况称为窄带 FM，即满足以下条件时，FM 信号的频谱宽度比较窄，称为窄带调频（NBFM）。窄带调频占据的带宽较窄，传输数据量有限，主要应用于无线语音的传输（比如无线对讲机）。
$$|K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau |\ll \frac{\pi }{6}\text{\hspace{1em}(5)}$$
此时，式 $(1)$ 可以近似为：
$$\begin{array}{rl}{s}_{NBFM}(t)& =Acos\left[{\omega }_{c}t+K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]\\ & =Acos({\omega }_{c}t)cos\left[K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]-Asin({\omega }_{c}t)sin\left[K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]\\ & \approx Acos({\omega }_{c}t)\cdot 1-Asin({\omega }_{c}t)\cdot K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \\ & =Acos({\omega }_{c}t)-\left[A{K}_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]sin({\omega }_{c}t)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
对其做傅里叶变换，得到窄带调频（NBFM）信号的频谱（幅度谱）表达式：
$$S_{NBFM}(\omega )=\pi A\left[\delta (\omega +{\omega }_c)+\delta (\omega -{\omega }_c)\right]+\frac{A{K}_f}{2}\left[\frac{M(\omega -{\omega }_c)}{\omega -{\omega }_c}-\frac{M(\omega +{\omega }_c)}{\omega +{\omega }_c}\right]\text{\hspace{1em}(7)}$$
式中，$M(\omega )$ 是调制信号 $m(t)$ 的频谱。与 AM 信号不同的是，NBFM 信号的两个边频分别乘了因式 $1/(\omega -{\omega }_c)$ 和 $1/(\omega +{\omega }_c)$，由于因式是频率的函数，所以这种加权是频率加权，加权的结果引起调制信号频谱的失真，此外， NBFM 的一个边带和 AM 反相。

（2）宽带调频

当不满足 $(5)$ 式所表示的条件时，FM 信号被称为宽带调频（WBFM）。宽带调频所占用的频带宽度比较宽，传输数据量大，主要应用于调频立体声广播。WBFM 的时域表达式无法进一步简化，首先考虑单音调制的情况，然后把分析的结论推广到多音调制，当 $m(t)=A_{m}cos({\omega }_{m}t)$ 时，带入式 $(1)$ 展开可得：
$$\begin{array}{rl}{s}_{WBFM}(t)& =Acos\left[{\omega }_{c}t+K_f{\int }_0^t{A}_{m}cos({\omega }_m\tau )d\tau \right]\\ & =Acos\left[{\omega }_{c}t+\frac{K_f{A}_m}{{\omega }_m}sin({\omega }_{m}t)\right]\\ & =Acos\left[{\omega }_{c}t+\beta sin({\omega }_{m}t)\right]\\ & =A\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(\beta )cos\left[({\omega }_c+n{\omega }_m)t\right]\end{array}\text{\hspace{1em}(8)}$$
式中 $J_n(\beta )$ 为第一类 $n$ 阶贝塞尔函数，它是调频指数 $\beta$ 的函数。对其做傅里叶变换，得到单音调制时宽带调频（WBFM）信号的频谱（幅度谱）表达式：
$$S_{WBFM}(\omega )=\pi A\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n(\beta )\left[\delta (\omega -{\omega }_c-n{\omega }_m)+\delta (\omega +{\omega }_c+n{\omega }_m)\right]\text{\hspace{1em}(9)}$$
由式 $(8)$ 和式 $(9)$ 可见，WBFM 调频信号的频谱由载波分量 ${\omega }_c$ 和无数边频 ${\omega }_c\pm n{\omega }_m$ 组成。当 $n=0$ 时是载波分量 ${\omega }_c$，其幅度为 $A{J}_0(\beta )$，当 $n\ne 0$ 时就是对称分布在载频两侧的边频分量 ${\omega }_c\pm n{\omega }_m$，其幅度为 $A{J}_n(\beta )$，相邻边频之间的间隔为 ${\omega }_m$。且当 $n$ 为奇数时，上下边频极性相反，当 $n$ 为偶数时极性相同。由此可见，FM 信号的频谱不再是调制信号频谱的线性搬移，而是一种非线性过程。

1.2 FM 信号的带宽与功率分配

宽带调频信号的频谱包含无穷多个频率分量，因此理论上调频信号的频带宽度为无限宽。但是，实际上边频幅度 $J_n(\beta )$ 随着 $n$ 的增大而逐渐减小，因此只要取适当的 $n$ 值使边频分量小到可以忽略的程度，调频信号可以近似认为具有有限频谱。通常采用的原则是：信号的频带宽度应包括幅度大于未调载波的 $10\%$ 以上的边频分量，即 $|J_n(\beta )|\ge 0.1$。根据经验，当 $\beta \ge 1$ 时，取边频数 $n=\beta +1$ 即可，因为 $n>\beta +1$ 以上的边频幅度 $J_n(\beta )$ 均小于 $0.1$，相应产生的功率均在总功率的 $2\%$ 以下，可以忽略不计，根据这条经验规则，调频波的有效带宽为：
$$B_{FM}=2(\beta +1)W\text{\hspace{1em}(10)}$$
这就是广泛用于计算调频信号带宽的卡森（Carson）公式。式中 $\beta$ 为调频指数，$W$ 为基带信号（调制信号）$m(t)$ 的带宽（或最高频率）。对于单音调制信号（即 $m(t)=A_{m}cos(2\pi f_{m}t)$ 时，此时 $W=f_m$），将 $(4)$ 式带入 $(10)$ 式，可得：
$$B_{FM}=2(\beta +1)f_m=2(\Delta f+f_m)\text{\hspace{1em}(11)}$$

• 当 $\beta \ll 1$ 时（对应窄带调频），带宽可近似估计为 $B_{NBFM}\approx 2f_m$，这时，带宽由第一对边频分量决定，带宽只随调制频率 $f_m$ 变化，而与最大频偏 $\Delta f$ 无关。
• 当 $\beta \gg 1$ 时（对应宽带调频），带宽可近似估计为 $B_{WBFM}\approx 2\Delta f$，这时，带宽由最大频偏 $\Delta f$ 决定，而与调制频率 $f_m$ 无关。

利用帕塞瓦尔定理以及贝塞尔函数性质，不难求得 FM 信号功率 $P_{FM}$ 与未调载波功率 $P_c$ 的关系如下：
$$P_{FM}=\overline{s_{WBFM}^2(t)}=\frac{A^2}{2}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{J}_n^2(\beta )=\frac{A^2}{2}=P_c\text{\hspace{1em}(12)}$$
上式说明，调频信号的平均功率 $P_{FM}$ 等于未调载波的平均功率 $P_c$，即调制后总的功率不变，只是将原来载波功率中的一部分分配给每个边频分量，所以，调制过程只是进行功率的重新分配，而分配的原则与调频指数 $\beta$ 有关。

扫描二维码关注公众号，回复： 17368362 查看本文章

1.3 FM 信号的调制方法

FM 信号的调制方法有 3 种，一种是直接调频法，一种是间接调频法，第三种是正交调制法。

（1）直接调频法

直接调频法是用调制信号 $m(t)$ 直接控制高频振荡器，让回路元件的参数发生改变，使其输出频率按调制信号的规律线性地变化，常用的元件是变容二极管。直接调频法的主要优点是在实现线性调频的要求下，可以获得较大的频偏，且实现电路简单；主要缺点是频率稳定度不高，往往需要采用自动频率控制系统来稳定中心频率。

（2）间接调频法

间接调频法也被称为倍频法、阿姆斯特朗法。该方法先将调制信号积分，然后对载波进行调相，即可产生一个 NBFM 信号，再经 $n$ 次倍频器得到 WBFM 信号，间接调频法的优点是频率稳定性好，缺点是需要多次倍频和混频，电路较复杂。如下图所示，根据式 $(6)$ 窄带调频的时域表达式可知，虚线框内所示部分可以用来获得 NBFM 信号。

上图中的倍频器是一个非线性器件，以理想平方律器件为例，其输出 $x_o(t)$ 与输入 $x_i(t)$ 的关系为 $x_o(t)=a{x}_i^2(t)$，其中 $a$ 为常数，将式 $(6)$ 带入，得到：
$$x_o(t)=a{x}^2(t)=\frac{1}{2}a{A}^2\left\{1+cos\left[2{\omega }_{c}t+2K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]\right\}\text{\hspace{1em}(13)}$$
接着将 $x_o(t)$ 经过一个带通滤波器，就可以将其中的直流分量滤除，从而得到一个新的 FM 信号 $x_o^{\prime }(t)$，如下：
$$x_o^{\prime }(t)=\frac{1}{2}a{A}^{2}cos\left[2{\omega }_{c}t+2K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]\text{\hspace{1em}(14)}$$
这个信号的载频和相位偏移均增为原来的 $2$ 倍，由于相位偏移增为 $2$ 倍，因而调频指数也必然增为 $2$ 倍，同理，经 $n$ 次倍频后可以使调频信号的载频和调频指数增为 $n$ 倍。增大调制指数时，一般需要保持载频不变或者不增大太多，这个时候可以接着使用一个混频器配一个带通滤波器来进行下变频，混频器只改变载频而不影响频偏，具体实现方法可参考《通信原理》相关资料。

（3）正交调制法

将 $(1)$ 式进行三角展开，可以得到：
$$\begin{array}{rl}{s}_{FM}(t)& =Acos\left[{\omega }_{c}t+K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]\\ & =Acos({\omega }_{c}t)cos\left[K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]-Asin({\omega }_{c}t)sin\left[K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]\end{array}\text{\hspace{1em}(15)}$$
正交调制流程如下：

1. 对调制信号 $m(t)$ 进行积分，得到 $\Phi =K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau$。
2. 对积分后的信号分别取余弦和正弦，得到 $I$ 路数据 $I(t)=cos(\Phi )$ 与 $Q$ 路数据 $Q(t)=sin(\Phi )$。
3. 分别乘以载波 $Acos({\omega }_{c}t)$ 与 $-Asin({\omega }_{c}t)$ 后相加，得到 FM 信号 $s_{FM}(t)=I(t)Acos({\omega }_{c}t)-Q(t)Asin({\omega }_{c}t)$。

其中第三步也可以先将 $I(t)$ 和 $Q(t)$ 组成一个复信号 $Z(t)=I(t)+iQ(t)$，然后乘以复载波 $exp(i{\omega }_{c}t)$，最后取实部，即 $s_{FM}(t)=Real\left[Z(t)exp(i{\omega }_{c}t)\right]$，两种方法是等价的。

1.4 窄带 FM 信号示例

上一小节中介绍的调制方法都与硬件实现相关，接下来使用 MATLAB 软件来直接生成 NBFM 信号。调制信号 $m(t)$ 可以是确知信号，也可以是随机信号。当 $m(t)$ 是确知信号时，不妨假设 $m(t)$ 的时域表达式如下，对应的基带带宽 $W=f_m$：
$$m(t)=sin(2\pi f_{m}t)+cos(\pi f_{m}t)\text{\hspace{1em}(16)}$$
各调制参数取值：$A=1$，$f_m=2500Hz$，$\beta =10^{-6}$，$f_c=20000Hz$。信号采样率 $f_s=8f_c$，仿真总时长为 $2s$。FM 调制效果如下图所示（为了美观，时域只显示前 500 个点），调制信号 $m(t)$ 双边幅度谱有四根离散谱线（$\pm 2500Hz$、$\pm 1250Hz$），调制信号 $m(t)$ 积分后的双边幅度谱有五根离散谱线（$0Hz$、$\pm 2500Hz$、$\pm 1250Hz$），NBFM 调频信号 $s(t)$ 双边幅度谱有十根离散谱线（$\pm 22500Hz$、$\pm 21250Hz$、$\pm 20000Hz$、$\pm 18750Hz$、$\pm 17500Hz$）。NBFM 调频信号 $s(t)$ 的带宽满足公式 $B_{NBFM}\approx 2f_m=5000Hz$，代码详见附录 main_modFM_example1.m 与 mod_fm.m，设置 beta = 1e-6 即可。

当 $m(t)$ 是随机信号时，不妨假设基带信号带宽为 $W=f_H=3000Hz$，各调制参数取值：$A=1$，$\beta =10^{-6}$，$f_c=20000Hz$。信号采样率 $f_s=8f_c$，仿真总时长为 $2s$。FM 调制效果如下图所示（为了美观，时域只显示前 500 个点），调制信号 $m(t)$ 双边幅度谱中间谱峰的范围约为 $-3000Hz\sim 3000Hz$，调制信号 $m(t)$ 积分后的双边幅度谱中间谱峰的范围依然约为 $-3000Hz\sim 3000Hz$，NBFM 调频信号 $s(t)$ 双边幅度谱有两根离散谱线（$\pm 20000Hz$）及两个谱峰（范围约为 $-23000Hz\sim -17000Hz$、$17000Hz\sim 23000Hz$）。NBFM 调频信号 $s(t)$ 的带宽满足公式 $B_{NBFM}\approx 2f_H=6000Hz$，代码详见附录 main_modFM_example2.m 与 mod_fm.m，设置 beta = 1e-6 即可。

1.5 宽带 FM 信号示例

当 $m(t)$ 是确知信号时，设 $f_m=2500Hz$， $\beta =4$，其他参数与 1.4 节中的确知信号相同，FM 调制效果如下图所示，带宽约为 $B_{FM}=2(\beta +1)f_m=25000Hz$，代码详见附录 main_modFM_example1.m 与 mod_fm.m，设置 fm = 2500, beta = 4 即可。

.当 $m(t)$ 是确知信号时，设 $f_m=1000Hz$， $\beta =15$，其他参数与 1.4 节中的确知信号相同，FM 调制效果如下图所示，带宽约为 $B_{WBFM}\approx 2\Delta f=2\beta f_m=30000Hz$，代码详见附录 main_modFM_example1.m 与 mod_fm.m，设置 fm = 1000, beta = 15 即可。

2. FM 解调算法

解调是调制的逆过程，其作用是从接收的已调信号中恢复原基带信号（即调制信号）。FM 解调的方法也分为相干解调和非相干解调，普通的相干解调仅适用于 NBFM 信号，正交相干解调与非相干解调对 NBFM 信号和 WBFM 信号均适用。下面分别用几种不同方法对 1.4 与 1.5 节中确知信号的 FM 调制结果进行解调。

2.1 非相干解调（鉴频器）

微分器和包络检波器是一种最常见的鉴频器。其中微分器的作用是把幅度恒定的调频波 $s_{FM}(t)$ 变成幅度和频率都随调制信号 $m(t)$ 变化的调幅调频波 $s_d(t)$，即：
$$\begin{array}{rl}{s}_d(t)& =\frac{d{s}_{FM}(t)}{dt}\\ & =\frac{d\left\{Acos\left[{\omega }_{c}t+K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]\right\}}{dt}\\ & =-A\left[{\omega }_c+K_{f}m(t)\right]sin\left[{\omega }_{c}t+K_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]\end{array}\text{\hspace{1em}(17)}$$
包络检波器则将其幅度变化检出并滤去直流，即得解调输出 $m_o(t)=K_d{K}_{f}m(t)$，式中 $K_d$ 为鉴频器灵敏度（单位 $V/(rad/s)$）。FM 非相干解调（鉴频器）一般有以下四个步骤，其中第一步是微分器，第二至第四步是包络检波器，与 AM 包络检波的流程一样。

1. 第一步：求微分，得到 $s_d(t)$。
2. 第二步：全波整流（对 $s(t)$ 取绝对值）或半波整流（将 $s(t)$ 小于 $0$ 的地方置零）。
3. 第三步：低通滤波器滤除高频载波，滤除 $2{\omega }_c$ 或 ${\omega }_c$。
4. 第四步：去除直流分量（减去自身均值）。

对 1.4 节中的 FM 信号，设定 $f_m=2500Hz$，$\beta =10^{-6}$，信噪比 $SNR=150dB$，非相干解调效果如下，最大频偏 $\Delta f=\beta f_m=0.0025Hz$ 过小，解调效果很差。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 $f_m=2500Hz$，$\beta =4$，信噪比 $SNR=50dB$，非相干解调效果如下，解调后幅度放大系数 $k=\overline{|m(t)|}/\overline{|\hat{m}(t)|}\approx 7.61$，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：$\sqrt{\sum |m(t_i)-k\hat{m}(t_i){|}^2}/\sqrt{\sum |m(t_i){|}^2}\approx 0.0920$。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 $f_m=1000Hz$，$\beta =15$，信噪比 $SNR=50dB$，非相干解调效果如下，解调后幅度放大系数 $k=\overline{|m(t)|}/\overline{|\hat{m}(t)|}\approx 5.07$，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：$\sqrt{\sum |m(t_i)-k\hat{m}(t_i){|}^2}/\sqrt{\sum |m(t_i){|}^2}\approx 0.0634$。

非相干解调（鉴频器）的代码详见 lpf_filter.m、demod_fm_method1.m 和 main_demodFM_example1.m。

2.2 非相干解调（鉴频器 - 希尔伯特变换法）

鉴频器中的包络检波器可以通过希尔伯特变换法来实现，解调时无需任何载频信息，这样，FM 非相干解调（鉴频器）可以分为以下三个步骤。

1. 第一步：求微分，得到 $s_d(t)$。
2. 第二步：计算 $s_d(t)$ 的希尔伯特变换，得到一个复信号（实部为 $s_d(t)$，虚部为其希尔伯特变换结果），对所得复信号取模，即为 $s_d(t)$ 的包络。
3. 第三步：去除直流分量（减去自身均值）。

对 1.4 节中的 FM 信号，设定 $f_m=2500Hz$，$\beta =10^{-6}$，信噪比 $SNR=150dB$，非相干解调效果如下，最大频偏 $\Delta f=\beta f_m=0.0025Hz$ 过小，解调效果很差。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 $f_m=2500Hz$，$\beta =4$，信噪比 $SNR=50dB$，非相干解调效果如下，解调后幅度放大系数 $k=\overline{|m(t)|}/\overline{|\hat{m}(t)|}\approx 4.87$，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：$\sqrt{\sum |m(t_i)-k\hat{m}(t_i){|}^2}/\sqrt{\sum |m(t_i){|}^2}\approx 0.0492$。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 $f_m=1000Hz$，$\beta =15$，信噪比 $SNR=50dB$，非相干解调效果如下，解调后幅度放大系数 $k=\overline{|m(t)|}/\overline{|\hat{m}(t)|}\approx 3.26$，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：$\sqrt{\sum |m(t_i)-k\hat{m}(t_i){|}^2}/\sqrt{\sum |m(t_i){|}^2}\approx 0.0433$。

非相干解调（鉴频器 - 希尔伯特变换法）的代码详见 demod_fm_method2.m 和 main_demodFM_example2.m。

2.3 相干解调

相干解调时，为了无失真地恢复原基带信号，接收端必须提供一个与调制载波**严格同步（同频同相）**的本地载波（称为相干载波，可使用锁相环技术得到）。普通的相干解调仅适用于 NBFM 信号，其解调框图如下：

其中：
$$s_{NBFM}(t)=Acos({\omega }_{c}t)-\left[A{K}_f{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]sin({\omega }_{c}t)\text{\hspace{1em}(18)}$$
相干载波 $c(t)=-sin({\omega }_{c}t)$，则相乘器的输出为：
$$s_p(t)=-\frac{A}{2}sin(2{\omega }_{c}t)+\left[\frac{A{K}_f}{2}{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \right]\cdot \left[1-cos(2{\omega }_{c}t)\right]\text{\hspace{1em}(19)}$$
经低通滤波器取出其低频分量：
$$s_d(t)=\frac{A{K}_f}{2}{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau \text{\hspace{1em}(20)}$$
再经微分器，即得解调输出：
$$m_o(t)=\frac{A{K}_f}{2}m(t)\text{\hspace{1em}(21)}$$
可见，相干解调可以恢复原调制信号，这种解调方法与线性调制中的相干解调一样，要求本地载波与调制载波同步，否则将使解调信号失真。NBFM 相干解调可以分为以下几步：

1. 第一步：乘以相干载波（即乘以 $-sin({\omega }_{c}t+{\varphi }_0)$），注意载波初始相位。
2. 第二步：低通滤波滤除高频载波，滤除 $2{\omega }_c$。
3. 第三步：求微分。

对 1.4 节中的 FM 信号，设定 $f_m=2500Hz$，$\beta =10^{-6}$，信噪比 $SNR=150dB$，相干解调效果如下，解调后幅度放大系数 $k=\overline{|m(t)|}/\overline{|\hat{m}(t)|}\approx 222.30$，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：$\sqrt{\sum |m(t_i)-k\hat{m}(t_i){|}^2}/\sqrt{\sum |m(t_i){|}^2}\approx 0.1313$。更改相干载波的初始相位为 ${\varphi }_0=\pi /4,\pi /2$，或者更改相干载波的中心频率为 $0.8f_c,1.2f_c$ 后，解调效果变差，说明这种方法对相干载波同频同相的要求较高，鲁棒性不够强悍，可使用锁相环技术来改善这一缺点。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 $f_m=2500Hz$，$\beta =4$，信噪比 $SNR=50dB$，相干解调效果如下，可知这种方法不适用于非窄带调频信号。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 $f_m=1000Hz$，$\beta =15$，信噪比 $SNR=50dB$，相干解调效果如下，可知这种方法不适用于非窄带调频信号。

相干解调的代码详见 lpf_filter.m、demod_fm_method3.m 和 main_demodFM_example3.m。

2.4 数字正交解调

数字正交解调也属于相干解调的一种，但这种方法具有较强的抗载频失配能力，不要求相干载波严格的同频同相。FM 数字正交解调一般有以下四个步骤：

1. 第一步：乘以正交相干载波得到 $s_I(t)$ 与 $s_Q(t)$，即 $s_I(t)=s(t)cos({\omega }_{c}t+{\varphi }_0)$，$s_Q(t)=-s(t)sin({\omega }_{c}t+{\varphi }_0)$。
2. 第二步：低通滤波器滤除 $s_I(t)$ 与 $s_Q(t)$ 中的高频分量。
3. 第三步：通过反正切计算相位 $\Phi (t)=atan\left[\frac{s_Q(t)}{s_I(t)}\right]=k{\int }_0^{t}m(\tau )d\tau$。
4. 第四步：对相位进行差分，得到解调结果 $m_o(t)$。

反正切运算在硬件中难以实现，通过一阶近似，上面第三步与第四步可合并为以下式子：
$$m_o(t)=\frac{s_I(n-1)s_Q(n)-s_I(n)s_Q(n-1)}{s_I^2(n)+s_Q^2(n)}\text{\hspace{1em}(22)}$$
对 1.4 节中的 FM 信号，设定 $f_m=2500Hz$，$\beta =10^{-6}$，信噪比 $SNR=150dB$，数字正交解调效果如下，解调后幅度放大系数 $k=\overline{|m(t)|}/\overline{|\hat{m}(t)|}\approx 17782852.62$，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：$\sqrt{\sum |m(t_i)-k\hat{m}(t_i){|}^2}/\sqrt{\sum |m(t_i){|}^2}\approx 0.1318$。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 $f_m=2500Hz$，$\beta =4$，信噪比 $SNR=50dB$，数字正交解调效果如下，解调后幅度放大系数 $k=\overline{|m(t)|}/\overline{|\hat{m}(t)|}\approx 4.48$，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：$\sqrt{\sum |m(t_i)-k\hat{m}(t_i){|}^2}/\sqrt{\sum |m(t_i){|}^2}\approx 0.0391$。

对 1.5 节中的 FM 信号，设定 $f_m=1000Hz$，$\beta =15$，信噪比 $SNR=50dB$，数字正交解调效果如下，解调后幅度放大系数 $k=\overline{|m(t)|}/\overline{|\hat{m}(t)|}\approx 2.99$，使用这个系数放大解调信号幅值，然后计算误差，有：$\sqrt{\sum |m(t_i)-k\hat{m}(t_i){|}^2}/\sqrt{\sum |m(t_i){|}^2}\approx 0.0163$。

数字正交解调的代码详见 lpf_filter.m、demod_fm_method4.m 和 main_demodFM_example4.m。更改相干载波的初始相位为 ${\varphi }_0=\pi /4,\pi /2$，或者更改相干载波的中心频率为 $0.8f_c,1.2f_c$ 后，解调效果依然比较好，说明这种方法具有较好的抗载频失配能力。

3. FM 仿真（MATLAB Communications Toolbox）

MATLAB 的 Communications Toolbox 中提供了 FM 调制函数 fmmod，高斯白噪声函数 awgn，以及 FM 解调函数 fmdemod，可以很方便地完成 FM 信号仿真。使用这三个函数实现上面 1.4 节中确知信号 $m(t)$ 的 FM 调制解调，调制后加噪声的效果如下：

解调效果如下：

解调信号与调制信号波形基本重回，计算误差，有：$\sqrt{\sum |m(t_i)-\hat{m}(t_i){|}^2}/\sqrt{\sum |m(t_i){|}^2}\approx 0.2397$。代码详见附录 main_CommFM_example.m。

参考资料

[1] 楼才义,徐建良,杨小牛.软件无线电原理与应用[M].电子工业出版社,2014.

[2] 樊昌信,曹丽娜.通信原理.第7版[M].国防工业出版社,2012.

[3] 刘学勇.详解MATLAB/Simulink通信系统建模与仿真[M].电子工业出版社,2011.

[4] 王丽娜,王兵.卫星通信系统.第2版[M].国防工业出版社,2014.

[5] 博客园 - 两种频率调制(FM)方法的MATLAB实现。

[6] CSDN - 数字信号处理基础----FM的调制与解调。

附录代码

附.1 文件 mod_fm.m

function [ sig_fm, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A)
% MOD_FM        FM 调频
% 输入参数：
%       fc      载波中心频率
%       beta    调频指数/调制指数
%       fs      信号采样率
%       mt      调制信号
%       t       采样时间
%       W       基带信号带宽（最高频率）
%       A       载波恒定振幅
% 输出参数：
%       sig_fm  调频(FM)实信号
%       deltaf  最大频偏
% @author 木三百川

% 计算调频灵敏度及最大频偏
kf = beta*W/max(abs(mt));
deltaf = beta*W;

% 计算调制信号积分
int_mt = cumtrapz(t,mt);

% 生成信号
sig_fm = A*cos(2*pi*fc*t+2*pi*kf*int_mt); % FM调频信号

% 绘图
nfft = length(sig_fm);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_fm));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)双边幅度谱');

subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), int_mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('调制信号m(t)积分');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(int_mt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('调制信号m(t)积分双边幅度谱');

subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_fm(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM调频信号s(t)');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM调频信号s(t)双边幅度谱');

end

附.2 文件 main_modFM_example1.m

clc;
clear;
close all;
% FM 调制仿真(调制信号为确知信号)
% @author 木三百川

% 调制参数
A = 1;                  % 载波恒定振幅
fm = 2500;              % 调制信号参数
beta = 1e-6;            % 调频指数/调制指数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);
W = fm;

% FM 调制
[ sig_fm, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);
fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

附.3 文件 main_modFM_example2.m

clc;
clear;
close all;
% FM 调制仿真(调制信号为随机信号)
% @author 木三百川

% 调制参数
A = 1;                  % 载波恒定振幅
fH = 3000;          	% 基带信号带宽
beta = 1e-6;            % 调频指数/调制指数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为随机信号
mt = randn(size(t));
b = fir1(512, fH/(fs/2), 'low');
mt = filter(b,1,mt);
mt = mt - mean(mt);
W = fH;

% FM 调制
[ sig_fm, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);
fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

附.4 文件 lpf_filter.m

function sig_lpf = lpf_filter(sig_data, cutfre)
% LPF_FILTER    自定义理想低通滤波器
% 输入参数：
%       sig_data        待滤波数据
%       cutfre          截止频率，范围 (0,1)
% 输出参数：
%       sig_lpf         低通滤波结果
% @author 木三百川

nfft = length(sig_data);
lidx = round(nfft/2-cutfre*nfft/2);
ridx = nfft - lidx;
sig_fft_lpf = fftshift(fft(sig_data));
sig_fft_lpf([1:lidx,ridx:nfft]) = 0;
sig_lpf = real(ifft(fftshift(sig_fft_lpf)));

end

附.5 文件 demod_fm_method1.m

function [ sig_fm_demod ] = demod_fm_method1(sig_fm_receive, fc, fs, t)
% DEMOD_FM_METHOD1        FM 非相干解调（鉴频器）
% 输入参数：
%       sig_fm_receive      FM 接收信号，行向量
%       fc                  载波中心频率
%       fs                  信号采样率
%       t                   采样时间
% 输出参数：
%       sig_fm_demod        解调结果，与 sig_fm_receive 等长
% @author 木三百川

% 第一步：求微分
sig_dfm = [diff(sig_fm_receive),0];

% 第二步：全波整流
sig_fm_abs = abs(sig_dfm);

% 第三步：低通滤波
sig_fm_lpf = lpf_filter(sig_fm_abs, fc/2/(fs/2));

% 第四步：去除直流分量
sig_fm_demod = sig_fm_lpf - mean(sig_fm_lpf);

% 绘图
nfft = length(sig_fm_abs);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_fm_abs));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_abs(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('全波整流结果');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_abs,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('全波整流结果双边幅度谱');

subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_lpf(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('低通滤波结果');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_lpf,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('低通滤波结果双边幅度谱');

subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('（去除直流）解调结果');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_demod,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('（去除直流）解调结果双边幅度谱');

end

附.6 文件 main_demodFM_example1.m

clc;
clear;
close all;
% FM 解调仿真(调制信号为确知信号，非相干解调)
% @author 木三百川

% 调制参数
A = 1;                  % 载波恒定振幅
fm = 1000;              % 调制信号参数
beta = 15;              % 调频指数/调制指数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);
W = fm;

% FM 调制
[ sig_fm_send, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);
fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

% 加噪声
snr = 50;               % 信噪比
sig_fm_receive = awgn(sig_fm_send, snr, 'measured');

% 非相干解调
[ sig_fm_demod ] = demod_fm_method1(sig_fm_receive, fc, fs, t);

% 绘图
nfft = length(sig_fm_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM接收信号双边幅度谱');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_fm_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_fm_demod)/norm(mt));

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), coef*sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号(放大后)');

附.7 文件 demod_fm_method2.m

function [ sig_fm_demod ] = demod_fm_method2(sig_fm_receive, fs, t)
% DEMOD_FM_METHOD2        FM 非相干解调（鉴频器 - 希尔伯特变换法）
% 输入参数：
%       sig_fm_receive      FM 接收信号，行向量
%       fs                  信号采样率
%       t                   采样时间
% 输出参数：
%       sig_fm_demod        解调结果，与 sig_fm_receive 等长
% @author 木三百川

% 第一步：求微分
sig_dfm = [diff(sig_fm_receive),0];

% 第二步：计算信号包络
sig_fm_envelope = abs(hilbert(sig_dfm));

% 第三步：去除直流分量
sig_fm_demod = sig_fm_envelope - mean(sig_fm_envelope);

% 绘图
nfft = length(sig_fm_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_dfm(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('求微分结果');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_dfm,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('求微分结果双边幅度谱');

subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_envelope(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('计算信号包络结果');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_envelope,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('计算信号包络结果双边幅度谱');

subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('（去除直流）解调结果');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_demod,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('（去除直流）解调结果双边幅度谱');

end

附.8 文件 main_demodFM_example2.m

clc;
clear;
close all;
% FM 解调仿真(调制信号为确知信号，非相干解调/希尔伯特变换法)
% @author 木三百川

% 调制参数
A = 1;                  % 载波恒定振幅
fm = 1000;              % 调制信号参数
beta = 15;              % 调频指数/调制指数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);
W = fm;

% FM 调制
[ sig_fm_send, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);
fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

% 加噪声
snr = 50;               % 信噪比
sig_fm_receive = awgn(sig_fm_send, snr, 'measured');

% 非相干解调
[ sig_fm_demod ] = demod_fm_method2(sig_fm_receive, fs, t);

% 绘图
nfft = length(sig_fm_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM接收信号双边幅度谱');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_fm_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_fm_demod)/norm(mt));

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), coef*sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号(放大后)');

附.9 文件 demod_fm_method3.m

function [ sig_fm_demod ] = demod_fm_method3(sig_fm_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_FM_METHOD3        FM 相干解调
% 输入参数：
%       sig_fm_receive      FM 接收信号，行向量
%       fc                  载波中心频率
%       fs                  信号采样率
%       t                   采样时间
%       phi0                相干载波初始相位
% 输出参数：
%       sig_fm_demod        解调结果，与 sig_fm_receive 等长
% @author 木三百川

% 第一步：乘以相干载波
sig_fm_ct = -sig_fm_receive.*sin(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：低通滤波
sig_fm_lpf = lpf_filter(sig_fm_ct, fc/(fs/2));

% 第三步：求微分
sig_fm_demod = [diff(sig_fm_lpf),0]*fs;

% 绘图
nfft = length(sig_fm_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));
subplot(3,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_ct(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('乘以相干载波结果');
subplot(3,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_ct,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('乘以相干载波结果双边幅度谱');

subplot(3,2,3);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_lpf(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('低通滤波结果');
subplot(3,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_lpf,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('低通滤波结果双边幅度谱');

subplot(3,2,5);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('（求微分）解调结果');
subplot(3,2,6);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_demod,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('（求微分）解调结果双边幅度谱');

end

附.10 文件 main_demodFM_example3.m

clc;
clear;
close all;
% FM 解调仿真(调制信号为确知信号，相干解调)
% @author 木三百川

% 调制参数
A = 1;                  % 载波恒定振幅
fm = 2500;              % 调制信号参数
beta = 1e-6;            % 调频指数/调制指数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);
W = fm;

% FM 调制
[ sig_fm_send, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);
fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

% 加噪声
snr = 150;               % 信噪比
sig_fm_receive = awgn(sig_fm_send, snr, 'measured');

% 相干解调
ini_phase = 0;
[ sig_fm_demod ] = demod_fm_method3(sig_fm_receive, fc, fs, t, ini_phase);

% 绘图
nfft = length(sig_fm_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM接收信号双边幅度谱');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_fm_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_fm_demod)/norm(mt));

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), coef*sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号(放大后)');

附.11 文件 demod_fm_method4.m

function [ sig_fm_demod ] = demod_fm_method4(sig_fm_receive, fc, fs, t, phi0)
% DEMOD_FM_METHOD4        FM 数字正交解调/相干解调
% 输入参数：
%       sig_fm_receive      FM 接收信号，行向量
%       fc                  载波中心频率
%       fs                  信号采样率
%       t                   采样时间
%       phi0                相干载波初始相位
% 输出参数：
%       sig_fm_demod        解调结果，与 sig_fm_receive 等长
% @author 木三百川

% 第一步：乘以正交相干载波
sig_fm_i = sig_fm_receive.*cos(2*pi*fc*t+phi0);
sig_fm_q = -sig_fm_receive.*sin(2*pi*fc*t+phi0);

% 第二步：低通滤波
sig_fm_i_lpf = lpf_filter(sig_fm_i, fc/(fs/2));
sig_fm_q_lpf = lpf_filter(sig_fm_q, fc/(fs/2));

% 第三步：计算相位
Pt = unwrap(atan2(sig_fm_q_lpf, sig_fm_i_lpf));

% 第四步：计算差分
sig_fm_demod = [diff(Pt),0];

% % 合并第三步与第四步：反正切近似
% sig_fm_demod = (sig_fm_i_lpf(1:end-1).*sig_fm_q_lpf(2:end)-sig_fm_i_lpf(2:end).* ...
%     sig_fm_q_lpf(1:end-1))./(sig_fm_i_lpf(2:end).^2+sig_fm_q_lpf(2:end).^2);
% sig_fm_demod = [sig_fm_demod, sig_fm_demod(end)];

% 绘图
nfft = length(sig_fm_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));
subplot(2,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_i(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('乘以正交相干载波 I 路结果');
subplot(2,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_i,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('乘以正交相干载波 I 路结果双边幅度谱');
subplot(2,2,3);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_q(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('乘以正交相干载波 Q 路结果');
subplot(2,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_q,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('乘以正交相干载波 Q 路结果双边幅度谱');

figure;set(gcf,'color','w');
subplot(2,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_i_lpf(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('低通滤波 I 路结果');
subplot(2,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_i_lpf,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('低通滤波 I 路结果双边幅度谱');
subplot(2,2,3);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_q_lpf(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('低通滤波 Q 路结果');
subplot(2,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_q_lpf,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('低通滤波 Q 路结果双边幅度谱');

figure;set(gcf,'color','w');
subplot(2,2,1);
plot(t(1:plot_length), Pt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('计算相位结果');
subplot(2,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(Pt,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('计算相位结果双边幅度谱');
subplot(2,2,3);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('（计算差分）解调结果');
subplot(2,2,4);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_demod,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('（计算差分）解调结果双边幅度谱');

end

附.12 文件 main_demodFM_example4.m

clc;
clear;
close all;
% FM 解调仿真(调制信号为确知信号，数字正交解调)
% @author 木三百川

% 调制参数
A = 1;                  % 载波恒定振幅
fm = 1000;              % 调制信号参数
beta = 15;              % 调频指数/调制指数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);
W = fm;

% FM 调制
[ sig_fm_send, deltaf ] = mod_fm(fc, beta, fs, mt, t, W, A);
fprintf('最大频偏 deltaf = %.6f Hz.\n', deltaf);

% 加噪声
snr = 50;               % 信噪比
sig_fm_receive = awgn(sig_fm_send, snr, 'measured');

% 相干解调
ini_phase = 0;
[ sig_fm_demod ] = demod_fm_method4(sig_fm_receive, fc, fs, t, ini_phase);

% 绘图
nfft = length(sig_fm_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM接收信号双边幅度谱');

coef = mean(abs(mt))/mean(abs(sig_fm_demod));
fprintf('norm(调制信号 - %.2f * 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', coef, norm(mt-coef*sig_fm_demod)/norm(mt));

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), coef*sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号(放大后)');

附.13 文件 main_CommFM_example.m

clc;
clear;
close all;
% FM 调制解调仿真(使用Communications Toolbox工具箱)
% @author 木三百川

% 调制参数
A = 1;                  % 载波恒定振幅
fm = 2500;              % 调制信号参数
beta = 1e-6;            % 调频指数/调制指数
fc = 20000;             % 载波频率
fs = 8*fc;              % 采样率
total_time = 2;         % 仿真时长，单位：秒

% 采样时间
t = 0:1/fs:total_time-1/fs;

% 调制信号为确知信号
mt = sin(2*pi*fm*t)+cos(pi*fm*t);

% FM 调制
freqdev = beta*fm;
ini_phase = 0;
sig_fm_send = A*fmmod(mt, fc, fs, freqdev, ini_phase);

% 加噪声
snr = 150;               % 信噪比
sig_fm_receive = awgn(sig_fm_send, snr, 'measured');

% FM 解调
[ sig_fm_demod ] = fmdemod(sig_fm_receive, fc, fs, freqdev, ini_phase);

% 绘图
nfft = length(sig_fm_receive);
freq = (-nfft/2:nfft/2-1).'*(fs/nfft);
figure;set(gcf,'color','w');
plot_length = min(500, length(sig_fm_receive));
subplot(1,2,1);
plot(t(1:plot_length), sig_fm_receive(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('FM接收信号');
subplot(1,2,2);
plot(freq, 10*log10(fftshift(abs(fft(sig_fm_receive,nfft)/nfft))+eps));xlim([freq(1),freq(end)]);
xlabel('频率/hz');ylabel('幅度/dB');title('FM接收信号双边幅度谱');

figure;set(gcf,'color','w');
plot(t(1:plot_length), mt(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
hold on;
plot(t(1:plot_length), sig_fm_demod(1:plot_length));xlim([t(1),t(plot_length)]);
xlabel('t/s');ylabel('幅度');title('解调效果');
legend('调制信号','解调信号');

fprintf('norm(调制信号 - 解调信号)/norm(调制信号) = %.4f.\n', norm(mt-sig_fm_demod)/norm(mt));