前言
flow模型本身很弱，BERT-flow里边使用的flow模型更弱，所以flow模型不大可能在BERT-flow中发挥至关重要的作用。反过来想，那就是也许我们可以找到更简单直接的方法达到BERT-flow的效果。
BERT-whitening则认为，flow模型中涉及到的逆变换和雅可比行列式计算实际需要满足变换简单、易计算的特点。因此每一层的非线性变换能力就“很弱”，为了保证充分的拟合能力，模型就必须堆得非常深。但实际上BERT-flow所使用的模型计算量并大。因此，作者提出可以使用一种简单的线性变换（相当于白化操作）来浅层地对BERT的向量进行转换，能到达和BERT-flow接近甚至超越的效果。
1.向量的内积
计算文本相似度时，首先将文本表示为句向量，然后计算两个句向量之间的余弦相似度，通过相似度的大小判断这两个文本是否相似。
那么这里就有一个问题，余弦相似度为什么就能计算两个向量的相似性呢？想要弄清楚这个问题，就需要我们对于向量的内积有一个充分的理解。
在线性代数中，我们知道，对于向量 A 和 B 来说，它们的内积形式是这样的
从上面的公式我们可以看出，向量内积的运算是将两个向量映射为实数。接下来，我们从几何的角度来进行分析，假设 A 和 B 为二维向量来进行分析，则：
经过变换后我们就可以得到：
其几何图如下：
可以看到，向量 A 与 B 的乘积为 A 到 B 投影的长度乘以 B 的模。 假设 |B|=1 ，则公式变为：
也就是说，向量 A 与 B 的乘积可以看作 A 向 B 所在直线投影的标量大小。如果把 A 和 B 这两个向量扩展至 d 维，可以得到：
上述等号只在“标准正交基”下成立。换句话说，向量的“夹角余弦”本身是具有鲜明的几何意义的，但上式右端只是坐标的运算，坐标依赖于所选取的坐标基，基底不同，内积对应的坐标公式就不一样，从而余弦值的坐标公式也不一样。
2.标准正交基
对于两个向量 A 和 B 来说，如果A⋅B=0，那么，我们称这两个向量正交(零向量与任何向量正交)。 我们知道，在n维的欧式空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。
对于一个向量A来说，其中不同维度的值表示的就是在该维上的投影，是一个标量。所以，我们可以大致的得出一个结论：要准确描述向量，首先要确定一组基，然后给出在基所在的各个维度上的投影值，就可以了。为了方便求坐标，我们希望这组基向量模长为 1。因为向量的内积运算，当模长为 1 时，内积可以直接表示投影。然后还需要这组基是线性无关的，我们一般用正交基，非正交的基也是可以的，不过正交基有较好的性质。
Bert模型输出的 [CLS] 向量为什么在文本语义计算任务中无法取得好的效果呢，那么原因可能就是此时的句向量所属的坐标系并非标准正交基。而且如果基的数量少于向量本身的维数，则可以达到降维的效果。但是我们还没回答一个最关键的问题：如何选择基才是最优的。或者说，如果我们有一组 N 维向量，现在要将其降到 K 维（K 小于 N），那么我们应该如何选择 K 个基才能最大程度保留原有的信息？
一种直观的看法是：希望投影后的投影值尽可能分散，因为如果重叠就会有样本消失。当然这个也可以从熵的角度进行理解，熵越大所含信息越多。所以，这里我们希望的是投影后的数值尽可能的分散，那么，该如何让投影值分散呢？而在数学中，可以用方差来表示数值的分散程度。
3.方差与协方差
当协方差为 0 时，表示两个变量完全线性不相关。为了让协方差为 0，我们选择第二个基时只能在与第一个基正交的方向上进行选择，因此最终选择的两个方向一定是正交的。
到这里，我们就可以得到一个优化目标：将一组 N 维向量降为 K 维，其目标是选择 K 个单位正交基，使得原始数据变换到这组基上后，各变量两两间协方差为 0，而变量方差则尽可能大（在正交的约束下，取最大的 K 个方差）。
对于向量 A 和 B 来说，我们按照行组成一个向量矩阵 X 为
然后根据协方差的计算公式，可得
我们可以看到这个矩阵对角线上的分别是两个变量的方差，而其它元素是 a 和 b 的协方差。两者被统一到了一个矩阵里。 我们很容易被推广到一般情况：
设我们有 m 个 n 维数据记录，将其排列成矩阵 ，设
，则 C 是一个对称矩阵，其对角线分别对应各个变量的方差，而第 i 行 j 列和 j 行 i 列元素相同，表示 i 和 j 两个变量的协方差。
由此可知，我们需要将除对角线外的其它元素化为 0，并且在对角线上将元素按大小从上到下排列（变量方差尽可能大），这里就是将协方差转为一个单位矩阵，也就是矩阵的对角化。
设原始数据矩阵 X 对应的协方差矩阵为 C，而 P 是一组基按行组成的矩阵，设 Y=PX，则 Y 为 X 对 P 做基变换后的数据。设 Y 的协方差矩阵为 D，我们推导一下 D 与 C 的关系：
这样我们就看清楚了，我们要找的 P 是能让原始协方差矩阵对角化的 P。换句话说，优化目标变成了寻找一个矩阵 P，满足是一个对角矩阵，并且对角元素按从大到小依次排列，那么 P 的前 K 行就是要寻找的基，用 P 的前 K 行组成的矩阵乘以 X 就使得 X 从 N 维降到了 K 维并满足上述优化条件。
4.whitening
回到Bert本身的输出，根据上述的协方差矩阵，作者假设有一组句子向量，也可以写为行向量 ，然后对其进行如下线性变换。
使得的均值为0、协方差矩阵为单位阵。为了让均值为0，可以设置
下面求解 W ，将原始数据的协方差记为
根据公式， 
可以得到
，所以，我们的实际目标是 
，然后，可得
我们知道 Σ 是一个正定对称矩阵，正定对称矩阵都具有如下形式的SVD分解
其中 U 是一个正交矩阵， Λ 是一个正对角矩阵，则可以让 
，则可以得到
关于PCA和SVD的差异分析，首先是PCA，PCA可以把一个方阵分解为特征值和特征向量。但是对于任意形状的矩阵都可以进行SVD分解。
5.实验对比
首先是与Bert-flow进行对比：
可以看到，简单的BERT-whitening确实能取得跟BERT-flow媲美的结果。除了STS-B之外，笔者的同事在中文业务数据内做了类似的比较，结果都表明BERT-flow带来的提升跟BERT-whitening是相近的，这表明，flow模型的引入可能没那么必要了，因为flow模型的层并非常见的层，它需要专门的实现，并且训练起来也有一定的工作量，而BERT-whitening的实现很简单，就一个线性变换，可以轻松套到任意的句向量模型中。
相信如果是一步步看下来的读者肯定知道了，前面的一系列介绍，其实就是PCA降维的操作。作者表示在降维的时候结果更好。
从上表可以看出，我们将base版本的768维只保留前256维，那么效果还有所提升，并且由于降维了，向量检索速度肯定也能大大加快；类似地，将large版的1024维只保留前384维，那么降维的同时也提升了效果。这个结果表明，无监督训练出来的句向量其实是“通用型”的，对于特定领域内的应用，里边有很多特征是冗余的，剔除这些冗余特征，往往能达到提速又提效的效果。
6.代码实现
import numpy as np
data = np.random.rand(5,768)
print('data.shape = ')
print(data.shape,data)
def compute_kernel_bias(vecs):
"""计算kernel和bias
vecs.shape = [num_samples, embedding_size]，
最后的变换：y = (x + bias).dot(kernel)
"""
mu = vecs.mean(axis=0, keepdims=True)
cov = np.cov(vecs.T)
u, s, vh = np.linalg.svd(cov)
W = np.dot(u, np.diag(1 / np.sqrt(s)))
return W, -mu
def transform_and_normalize(vecs, kernel=None, bias=None):
"""应用变换，然后标准化
"""
if not (kernel is None or bias is None):
vecs = (vecs + bias).dot(kernel)
return vecs / (vecs**2).sum(axis=1, keepdims=True)**0.5
kernel,bias = compute_kernel_bias(data)
kernel = kernel[:,:256]
print('kernel.shape = ')
print(kernel.shape)
print('bias.shape = ')
print(bias.shape)
data = transform_and_normalize(data, kernel, bias)
print('data.shape = ')
print(data.shape,data)
Reference
2.Bert-whitening 向量降维及使用_bert得到的句向量经过降维后全部堆在了一起_loong_XL的博客-CSDN博客