1预测电影等级
推荐系统(recommender systems)，比如对像 Netflix 这样的公司 ，他们向用户推荐的电影占了用户观看的电影的相当大一部分
对于机器学习来说 特征量是重要的， 你选择的特征 对你学习算法的表现有很大影响。 在机器学习领域 有这么一个宏大的想法， 就是对于一些问题 存在一些算法， 能试图自动地替你学习到一组优良的特征量。而推荐系统 就是这种情形的一个例子。通过学习推荐系统 ，我们将能够 对这种学习特征量的想法 有一点理解。
1.1任务设想
我这里有5部电影 《爱到最后》 《浪漫永远》 《小爱犬》 《无尽狂飙》 还有 《剑与空手道》。 我们有4位用户 名叫 Alice Bob Carol 和 Dave 。首字母为A B C和D 我们称他们用户1 2 3和4 。比方说 ，Alice 她非常喜欢 《爱到最后》 把它评为5颗星。 她还喜欢 《浪漫永远》 也把它评为5颗星。 她没看过 《小爱犬》 也就没评分， 这样我们没有这个评分数据。
我们查看数据并查看所有缺失的电影评级，并试图预测这些问号的值应该是多少。
1.2基于内容的推荐
每个items都有一些features，如果我们知道它们的值是多少，同时每个用户通过θj告诉我们他们有多喜欢romantic或者action movies。这种按照内容的特征来推荐的算法就是——基于内容推荐。
使用梯度下降优化： 
如果你觉得这个 梯度下降的更新 看起来跟之前 线性回归差不多的话， 那是因为这其实就是线性回归， 唯一的一点区别 是在线性回归中 我们有1/m项 。
通过这节课 你应该知道了 怎样应用一种 事实上是线性回归的一个变体， 来预测不同用户对不同电影的评分值 ，这种具体的算法叫 ”基于内容的推荐“ 或者”基于内容的方法“。 因为我们假设 我们有不同电影的特征 ，我们有了电影 内容的特征 比如电影的爱情成分有多少？动作成分有多少？ 我们就是用电影的这些特征 来进行预测 。
但事实上 对很多电影 我们并没有这些特征 或者说 很难得到 所有电影的特征 很难知道 我们要卖的产品 有什么样的特征 。所以在下一段视频中 我们将谈到一种不基于内容的推荐系统：协同过滤。
2协同过滤
2.1协同过滤
在这段视频中 我们要讲 一种构建推荐系统的方法 叫做协同过滤(collaborative filtering) 。
算法 有一个值得一提的 特点 ，那就是它能实现 对特征的学习。 我的意思是 这种算法能够 自行学习所要使用的特征 。
我们建一个数据集 ，假定是为每一部电影准备的 ，对每一部电影 我们找一些人来 告诉我们这部电影 浪漫指数是多少 动作指数是多少。
但想一下就知道 这样做难度很大， 也很花费时间 。你想想 要让每个人 看完每一部电影 告诉你你每一部电影有多浪漫 多动作 这是一件不容易的事情。
现在我们稍稍改变一下这个假设 ，假设我们采访了每一位用户 而且每一位用户都告诉我们 他们是否喜欢 爱情电影。
总结一下， 这一阶段要做的 就是为所有 为电影评分的 用户 j 选择特征 x(i)。 这一算法同样也预测出一个值 ，表示该用户将会如何评价某部电影。 而这个预测值 在平方误差的形式中 与用户对该电影评分的实际值尽量接近 。
优化目标：
minx(1),...,x(nm)12∑i=1nm∑j:r(i,j)=1((θ(j))Tx(i)−y(i,j))2+λ2∑i=1nm∑k=1n(xk(i))2
梯度下降（注意是对x求偏导）：
xk(i):=xk(i)−α(∑j:r(i,j)=1((θ(j))T(x(i))−y(i,j))θk(j)+λxk(i))
我们之前 这个视频中讲的是 ，如果用户愿意 为你提供参数 ，那么你就可以为不同的电影估计特征 。
这有点像鸡和蛋的问题 到底先有鸡还是先有蛋？就是说 如果我们能知道 θ 就能学习到 x ，如果我们知道 x 也会学出 θ 来 。
我们可以一开始随机 猜测出的 θ 的值， 你可以继续下去 运用我们刚刚讲到的 步骤 我们可以学习出 不同电影的特征 。
同样的给出已有的一些电影的 原始特征， 你可以运用 我们在上一个视频中讨论过的 第一种方法 ，可以得到 对参数 θ 的更好估计 ，这样就会为用户提供更好的参数 θ 集。
我们可以继续 迭代 不停重复 优化θ x θ x θ 这非常有效
2.2协同过滤算法
在前面几个视频里 我们谈到几个概念 ，首先 ，如果给你几个特征表示电影， 我们可以使用这些资料去获得用户的参数数据。 第二 ，如果给你用户的参数数据， 你可以使用这些资料去获得电影的特征。
本节视频中 我们将会使用这些概念 并且将它们合并成 协同过滤算法 (Collaborative Filtering Algorithm) 。
总结一下我们之前做过的事情 ：其中之一是， 假如你有了电影的特征 ，你就可以解出 这个最小化问题 ，为你的用户找到参数 θ 。然后我们也 知道了， 如果你拥有参数 θ， 你也可以用该参数 通过解一个最小化问题 去计算出特征 x 。
所以你可以做的事 是不停地重复这些计算 ，首先随机地初始化这些参数 ，然后解出 θ 解出 x 解出 θ 解出 x ….但我将它们给合在一起
然后同时计算两个的梯度：
3低秩矩阵分解Low Rank Matrix Factorization
在上几节视频中 我们谈到了协同过滤算法 ，本节视频中我将会 讲到有关 该算法的向量化实现。
3.1向量化：低秩矩阵分解Low Rank Matrix Factorization
如果你有 预测评分矩阵 ，你就会有 以下的这个 有着(i, j)位置数据的矩阵 。 
也就是令：X=[−(x(1))T−⋮−(x(nm)−], Θ=[−(θ(1))T−⋮−(θ(nu)−]
则：XΘT=[(x(1))T(θ(1))…(x(1))T(θ(nu))⋮⋱⋮(x(nm))T(θ(1))…(x(nm))T(θ(nu))]
这就是低秩矩阵分解 。
现在既然你已经 对特征参数向量进行了学习 ，那么我们就会有一个很方便的方法 来度量两部电影之间的相似性。 例如说 ，电影i有一个特征向量x(i)， 你是否能找到一部 不同的电影 j，保证两部电影的特征向量之间的距离x(i)和x(j)很小 ，那就能 很有力地表明 电影 i 和电影 j在某种程度上有相似。
就是计算 small ||x(i)−x(j)x(i)−x(j)||。
3.2实现细节
到目前为止 你已经了解到了 推荐系统算法或者 协同过滤算法的所有要点 。在这节视频中 我想分享最后一点实现过程中的细节 ，这一点就是均值归一化 有时它可以让算法 运行得更好 。
所有item减去其（所有用户给它的）打分均值（没有评分的user_item不计入均值的计算），参数推断完成后再加回来。
如果电影没有评分，就将列和均值设置为0；如果用户没有评分，就将行均值设置为0。
否则新用户评分为0，则为负样例。