Unity Shader学习-数学基础-矩阵

一.方阵-对角矩阵-单位矩阵

二.矩阵与向量

三.矩阵乘法

一.方阵-对角矩阵-单位矩阵

方阵：n x n阶矩阵

例如：3 x 3矩阵 $\begin{bmatrix} m11 & m12 &m13 \\ m21& m22&m23 \\ m31& m32& m33 \end{bmatrix}$

对角矩阵：除主对角线的以外的值全为0

例如： $\begin{bmatrix} 4 & 0& 0\\ 0& 9 &0 \\ 0 &0 & 10 \end{bmatrix}$

单位矩阵：主对角线上的值全为1，其余值全为0

例如： $\begin{bmatrix} 1 & 0 &0 \\ 0& 1&0 \\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

三者的关系：单位矩阵 $\subseteq$ 对角矩阵 $\subseteq$ 方阵

二.矩阵与向量

行向量：1 x n的矩阵

例如： $\begin{bmatrix} 1 & 2& 3 \end{bmatrix}$

列向量：n x 1的矩阵

例如： $\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}$

三.矩阵的转置

定义：M矩阵的转置为M矩阵沿着主对角线反转，记作 $M^{T}$

公式： $M_{ij} = M_{ji}^{T}$

定理： $(M^T)^T = M$

若M为对角矩阵则： $M^T=M$

三.矩阵乘法

1.标量与矩阵相乘

设M为矩阵，k为常数则： $kM = k\begin{bmatrix} m_{11}&m_{12} &... & m_{1n} \\ m_{21} &m_{22} &.. &m_{2n} \\ ...&...&&...\\ m_{n1} &m_{n2} &... &m_{nn} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} km_{11}&km_{12} &... & km_{1n} \\ km_{21} &km_{22} &.. &km_{2n} \\ ...&...&&...\\ km_{n1} &km_{n2} &... &km_{nn} \end{bmatrix}$

2.矩阵与矩阵相乘

设M1：a行b列矩阵，M2：b行c列矩阵

条件：第一个矩阵的列等于第二个矩阵的行

结果：M1 * M2为a行c列矩阵

公式： $C_{ij} = \sum_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$

例如： $M_{1} = \begin{bmatrix} a_{11}&a_{12} &a_{13} \\ a_{2,1}&a_{22} &a_{23} \end{bmatrix},M_{2}=\begin{bmatrix} b_{11} &b_{12} \\ b_{21}&b_{22} \\ b_{31}&b_{32} \end{bmatrix}$

$M_{1}* M_{2} = \begin{bmatrix} a_{11}*b_{11} + a_{12} * b_{21} + a_{13} * b_{31}& a_{11}*b_{12} + a_{12} * b_{22} + a_{13} * b_{32} \\ a_{21}*b_{11} + a_{22} * b_{21} + a_{23} * b_{31}& a_{21}*b_{12} + a_{22} * b_{22} + a_{23} * b_{32} \end{bmatrix}$

3.矩阵乘法的特点

1.矩阵乘以对应的单位矩阵等于他本身

$\begin{bmatrix} 1& 4 &9\\ 3& 5& 6\\ 4&4&4 \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1& 0 &0\\ 0& 1& 0\\ 0&0&1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1& 4 &9\\ 3& 5& 6\\ 4&4&4 \end{bmatrix}$

2.不满足交换律

AB $\neq$ BA

3.满足结合律

（AB）C = A(BC)

4. $(AB)^T = B^TA^T$

四.向量矩阵转换

1.向量矩阵相乘

用途：可用于向量的转换，在DX中使用的是行向量，openGL中使用的是列向量

设 $\vec{a} = \begin{bmatrix} x &y &z \end{bmatrix},M=\begin{bmatrix} m_{11} &m_{12} &m_{13} \\ m_{21}&m_{22} &m_{23} \\ m_{31}&m_{32} & m_{33} \end{bmatrix}$

$\vec{a} * M = \begin{bmatrix} xm_{11} + ym_{21} + zm_{31} & xm_{12} + ym_{22} + zm_{32} &xm_{13} + ym_{23} + zm_{33} \end{bmatrix}$

设 $\vec{b} = \begin{bmatrix} x \\y \\z \end{bmatrix},M=\begin{bmatrix} m_{11} &m_{12} &m_{13} \\ m_{21}&m_{22} &m_{23} \\ m_{31}&m_{32} & m_{33} \end{bmatrix}$

$M * \vec{b} = \begin{bmatrix} xm_{11}+ym_{12} + zm_{13}\\ xm_{21} + ym_{22} + zm_{23}\\ xm_{31} + xm_{32} + xm_{33} \end{bmatrix}$

总结：行向量左乘乘矩阵，列向量右乘矩阵

2.矩阵转换向量

设 $\vec{a} = \begin{pmatrix} x,& y,&z \end{pmatrix}$

将向量转换成矩阵并分解: $\vec{a} = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ y\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ z \end{bmatrix}$

化简： $\vec{a} = \begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix} +z \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$

我们令 $\vec{p} = \begin{pmatrix} 1, &0, &0 \end{pmatrix},\vec{q} = \begin{pmatrix} 0, &1, &0 \end{pmatrix},\vec{r} = \begin{pmatrix} 0, &0, &1 \end{pmatrix}$

于是得到： $\vec{a} = x\vec{p} + y\vec{q} + z\vec{r}$

其中p，q，r又被称之为基向量

五.二维旋转矩阵

令 $R(\theta )=\begin{bmatrix} \cos\theta & \sin \theta\\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$ ，则 $R(\theta )$ 被称为二维旋转矩阵

用途：计算 $\vec{M} = \begin{pmatrix} x ,&y \end{pmatrix}$ 绕原点旋转 $\theta$ 后得到的向量 $\vec{M_{0}} = (x_{0},y_{0})$

公式： $\vec{M_{0}} = \vec{M} * R(\theta )$

证明：

六.三维绕轴旋转

左手坐标系：

右手坐标系：

$\theta$ 角旋转正方向的判断，左手定则：大拇指指向需要旋转的轴，从轴的正端点，指向负端点旋转（左手坐标系为顺时针，右手坐标系为逆时针）

绕z轴旋转 $R_{z}(\theta ) = \begin{bmatrix} \cos\theta & \sin \theta &0 \\ -\sin \theta& \cos\theta&0 \\ 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$

绕x轴旋转 $R_{x}(\theta ) = \begin{bmatrix}1 & 1 &0 \\ 0& \cos\theta&\sin\theta \\ 0& -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$

绕y轴旋转 $R_{y}(\theta ) = \begin{bmatrix}\cos\theta & 0 &-\sin \theta \\ 0& 1&\0 \\ \sin \theta & 0& \cos \theta \end{bmatrix}$

七.绕任意轴旋转

如图为 $\vec{v}$ 绕 $\vec{n}$ 旋转 $\theta$ 得到 $\vec{v'}$ ,其中OH垂直面AMH

我们将面AMH单独拿出来看，做HW垂直于HA，令HW等于HA

我们可以得到： $\vec{HM} = \vec{HA}\cos\theta + \vec{HW}\sin\theta$ .......................... $1$

$\vec{HA} = \vec{v}-\vec{OH}=\vec{v}-(\vec{v}\cdot \vec{n})\vec{n}$ ..........................2

解释： $(\vec{v}\cdot \vec{n})\vec{n}$ 怎么得到的

$\vec{v}$ 在 $\vec{n}$ 方向上的投影为 $\frac{\vec{v}\cdot \vec{n}}{\left | \vec{n} \right |}$ , $\vec{n}$ 的单位向量为 $\frac{\vec{n}}{\left | \vec{n} \right |}$

$\therefore \vec{OH} = (\vec{v}\cdot \vec{n})\vec{n}$ ,我们假设n为单位向量长度为1

$\vec{HW} = \vec{n} \times \vec{HA}=\vec{n} \times(\vec{v}-\vec{OH}))=\vec{n}\times\vec{v}-\vec{n}\times\vec{OH}$ ..........................3

由1,2,3得: $\vec{HM} = (\vec{v}-(\vec{v}\cdot\vec{n})\vec{n}))cos\theta + (\vec{n}\times\vec{v}-\vec{n}\times\vec{OH})sin\theta\\$

化简得： $\vec{HM}=(\vec{v}-(\vec{v}\cdot\vec{n})\vec{n}))cos\theta + (\vec{n}\times\vec{v})sin\theta$

$\therefore \vec{v'} =\vec{OH} + \vec{HM} =(\vec{v}\cdot \vec{n})\vec{n} + (\vec{v}-(\vec{v}\cdot\vec{n})\vec{n}))cos\theta + (\vec{n}\times\vec{v})sin\theta$

我们设 $\vec{p}=(1,0,0),\vec{q} = (0,1,0),\vec{r} = (0,0,1)$

我们求各个方向上的向量

$\therefore \vec{p'} =(\vec{p}\cdot \vec{n})\vec{n} + (\vec{p}-(\vec{p}\cdot\vec{n})\vec{n}))cos\theta + (\vec{n}\times\vec{p})sin\theta$

$\vec{q'} =(\vec{q}\cdot \vec{n})\vec{n} + (\vec{q}-(\vec{q}\cdot\vec{n})\vec{n}))cos\theta + (\vec{n}\times\vec{q})sin\theta$

$\vec{r} =(\vec{r}\cdot \vec{n})\vec{n} + (\vec{r}-(\vec{r}\cdot\vec{n})\vec{n}))cos\theta + (\vec{n}\times\vec{r})sin\theta$

$\vec{p'}=\begin{bmatrix} n^2_{x}(1-cos\theta)+cos\theta)\\n_{x}n_{y}(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta) \\ n_{x}n{z}(1-cos\theta) + n_{y}sin\theta)) \end{bmatrix}$
$\vec{q'}=\begin{bmatrix} n_{x}n_{y}(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta)\\ n^2_{y}(1-cos\theta)+cos\theta)\\ n_{y}n{z}(1-cos\theta) + n_{x}sin\theta)) \end{bmatrix}$

$\vec{r'}=\begin{bmatrix} n_{x}n_{z}(1-cos\theta )-n_{y}sin\theta)\\ n_{y}n{z}(1-cos\theta) + n_{x}sin\theta))\\ n^2_{z}(1-cos\theta)+cos\theta) \end{bmatrix}$

$\therefore R(n,\theta) = \begin{bmatrix} p'\\ q'\\ r' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} n^2_{x}(1-cos\theta)+cos\theta)&n_{x}n_{y}(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta)& n_{x}n{z}(1-cos\theta) + n_{y}sin\theta)\\ n_{x}n_{y}(1-cos\theta )-n_{z}sin\theta)& n^2_{y}(1-cos\theta)+cos\theta)&n_{y}n{z}(1-cos\theta) + n_{x}sin\theta)\\ n_{x}n_{z}(1-cos\theta )-n_{y}sin\theta)& n_{y}n{z}(1-cos\theta) + n_{x}sin\theta))& n^2_{z}(1-cos\theta)+cos\theta) \end{bmatrix}$

九.沿轴缩放矩阵

设基向量 $\vec{p} = (1,0),\vec{q} = (0,1)$

$\vec{p'} = k_{x}\vec{p} = (k_{x},0),\vec{q'} = k_{y}\vec{q} = (0,k_{y})$

二维缩放矩阵 $s(k_{1},k_{2}) = \begin{bmatrix} \vec{p'}\\\vec{q'} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{x} & 0\\0 & k_{y} \end{bmatrix}$

同理，三维缩放矩阵 $s(k_{1},k_{2},k_{3}) = \begin{bmatrix} \vec{p'}\\\vec{q'} \\\vec{r}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_{x} & 0 & 0\\0 & k_{y} & 0 \\ 0 & 0 & k_{z}\end{bmatrix}$

十.沿任意轴缩放矩阵

1.二维缩放矩阵

设 $\vec{v}$ 沿 $\vec{n}$ 方向缩放k倍得到 $\vec{v'}$

$\vec{v'} = \vec{v'_{\top }} +\vec{v'_{//}}=\vec{v_{\top}} + k\vec{v_{//}}=\vec{v}-(\vec{v}\cdot\vec{n})\vec{n} + k(\vec{v}\cdot \vec{n})\vec{n} = \vec{v} + (k-1)(\vec{v}\cdot\vec{n})\vec{n}$

设基向量 $\vec{p} = (1,0),\vec{q} = (0,1)$ 计算变换后的向量 $\vec{p'},\vec{q'}$

把 $\vec{p},\vec{q}$ 带入得：

$\vec{p'} = (1 + (k-1)n_{x}^2,(k-1)n_{x}n_{y})$

$\vec{q'} = ((k-1)n_{x}n_{y},1 + (k-1)n_{y}^2)$

所以二维缩放矩阵为: $s(n,k) = \begin{bmatrix} (1 + (k-1)n_{x}^2& (k-1)n_{x}n_{y})\\ ((k-1)n_{x}n_{y}&1 + (k-1)n_{y}^2) \end{bmatrix}$

2.三维缩放矩阵

证明过程同二维，在这里直接给出结果

三维缩放矩阵为 $s(n,k) = \begin{bmatrix} 1 + (k-1)n_x^2& (k-1)n_xn_y &(k-1)n_xn_z \\ (k-1)n_xn_y&1 + (k-1)n_y^2 & (k-1)n_yn_z \\ (k-1)n_{x}n_z &(k-1)n_zn_y &1 + (k-1)n_z^2 \end{bmatrix}$

十一.正交投影

设 $\vec{n}$ 于投影垂直， $s(\vec{n},0)$ 为正交投影,其中0称为缩放因子，缩放因子为0时代表投影，-1代表镜像

1.二维

向x轴投影 $s(\begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix},0) = p_x = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ 0& 0 \end{bmatrix}$ ，向y轴投影 $s(\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix},0) =p_y = \begin{bmatrix} 0 &0 \\ 0& 1 \end{bmatrix}$

例如向量（1，1）向x轴投影： $\begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0& 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$

2.三维

向xoy面投影 $s(\begin{bmatrix} 0 & 0&1 \end{bmatrix},0) =p_{xy} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0& 0& 0 \end{bmatrix}$

向xoz面投影 $s(\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\end{bmatrix},0) =p_{xz} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 &0& 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

向yoz面投影 $s(\begin{bmatrix} 1 & 0&0 \end{bmatrix},0) =p_{yz} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 &1 & 0\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}$

十二.沿任意轴的正交投影

1.二维

$P(n) = S(\vec{n},0) = \begin{bmatrix} 1-n_x^2 & -n_xn_y \\ -n_xn_y&1-n_y^2 \end{bmatrix}$

2.三维

$P(n) = S(\vec{n},0) = \begin{bmatrix} 1-n_x^2 &-n_xn_y &-n_yn_z \\ -n_xn_y&1-n_y^2 &-n_yn_z \\ -n_xn_z&-n_zn_y &1-n_z^2 \end{bmatrix}$

十三.镜像投影

1.二维

$P(\vec{n}) = S(\vec{n},-1) = \begin{bmatrix} 1-2n_x^2 &-2n_xn_y \\ -2n_xn_y& 1-2n^y \end{bmatrix}$

2.三维

$P(\vec{n}) = S(\vec{n},-1) = \begin{bmatrix} 1-2n_x^2 &-2n_xn_y &-2n_xn_z \\ -2n_xn_y&1-2n_y^2 &-xn_yn_z \\ -2n_xn_z&-2n_zn_y &1-2n_z^2 \end{bmatrix}$

十四.切变

1.二维

$H_x(s) = \begin{bmatrix} 1 &0 \\ s&1 \end{bmatrix},H_y = \begin{bmatrix} 1 &s \\ 0&1 \end{bmatrix}$ s,为切变因子

2.三维

$H_{xy}(s,t) = \begin{bmatrix} 1 &0 &0\\ 0& 1& 0\\ s & t & 1 \end{bmatrix}, H_{xz}(s,t) = \begin{bmatrix} 1 &0 &0\\ s& 1& t\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, H_{yz}(s,t) = \begin{bmatrix} 1 &s &t\\ 0& 1& 0\\ 0 & 0& 1 \end{bmatrix}$