【Unity】Unity 几何知识、弧度、三角函数、向量运算、点乘、叉乘

基础几何知识

角的度量方式

角的度量方式分为角度（Degree）和弧度（Radian）两种。角度就是将一个圆形切成360份，每一份就是1度角。弧度是当弧长等于圆的半径时即为1弧度。

如图所示：
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角度弧度转换

常用换算：
$\ \pi = 180度$
$\ 1弧度 = 180度 / \pi$
$\ 1角度 = \pi / 180度$

角度转弧度：

转换公式： $\ 弧度 = 角度数 * \pi / 180$
Unity代码：radian = x * Mathf.Deg2Rad;

弧度转角度：

转换公式： $\ 角度 = 弧度数 * 180 / \pi$
Unity代码：degree = x * Mathf.Rad2Deg;

三角函数

在直角三角形中（下图为例），如果 $\ a、b、c、x$ 中的两个变量已知则能计算出另外两个变量的值。

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计算公式

正弦： $\ sin(x) = a / c$ （对比斜）
余弦： $\ cos(x) = b / c$ （临比斜）
正切： $\ tan(x) = a / b$ （对比临）
余切： $\ cot(x) = b / a$
正割： $\ sec(x) = c / b$
余割： $\ csc(x) = c / a$
反正弦： $\ arcsin(a / c) = x$
反余弦： $\ arccos(b / c) = x$
反正切： $\ arctan(a / b) = x$

已知一角和一边，求另外两边，用sin、cos、tan。
已知两边，求角，用arcsin、arccos、arctan。

常用三角函数值

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使用方法

已知一个角和一条边，用 $\ sin、cos、tan$ 。
已知两条边求角度，用 $\ ArcSin、ArcCos、ArcTan$ 。

Unity应用

在代码中调用Mathf.Sin等三角函数方法时传入的参数并不是角度，而是弧度。

比如如果我们想要获取sin30度的值不能这样写：Mathf.Sin(30)。这样是错的。
正确的写法应该是Mathf.Sin(30 * Mathf.Deg2Rad)，将角度转为弧度再传参，得到的结果就是0.5了。

下图为官方API的描述。
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要求输入的角度是以弧度为单位的，所以要用这些方法时经常要用到角度和弧度的转换。

向量

向量是一个数字列表，表示各个维度上的有向位移。它是一个有大小有方向的物理量。大小就是方向的模长，方向描述了空间中向量的指向。向量可以用来表示物体的位置和方向。
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向量的大小：也就是向量的长度（一般称作为模），向量a的模记为 $\ | \vec a |$ ，若 $\ \vec a = (x, y, z)$ 则 $\ | \vec a | = \sqrt {x^2 + y^2 + z^2}$ 。代码中使用myVector.magnitude来获取向量的大小。

单位向量：即模为1的向量，在Unity中单位向量也就代表了向量的方向。可以记作 $\widehat{a}$ 。一个向量的单位向量，可以通过除以它模得到，即 $\widehat{a} = \frac {\vec a} {| \vec a |}$ 。代码中使用myVector.normalized来获取向量的单位向量，也就是向量的方向。

零向量：即模为0的向量，零向量的方向是任意的。

相反向量：长度相等方向相反的向量， $\ \vec a$ 的相反向量为 $\ -\vec a$ 。

平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，记作 $\ \vec a // \vec b$ 。

向量加减法

向量的加减就是向量对应分量的加减，类似于物理学中力的正交分解。
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向量相减

向量相减等于各分量相减。

$\ [x1,y1,z1] - [x2,y2,z2] = [x1-x2 , y1-y2 , z1-z2]$

几何意义：向量a与向量b相减，结果理解为以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量。方向由b指向a。
注意：我们可以把向量相减理解为a、b终点的连接，但实际上该向量准确起始位置应该是坐标原点。
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实际应用：计算两点之间的距离和相对方向。

向量相加

向量相加等于各分量相加。

$\ [x1,y1,z1] + [x2,y2,z2] = [x1+x2 , y1+y2 , z1+z2]$

几何意义：如下图，假设空间中有两个向量a和b，a与a’平行且长度相等，b与b’平行且长度相等。a+b就相当于a,b,a’,b’所围成的平行四边形的对角线。
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也可以这么说，由向量a的起点出发，沿着a的方向走a的长度，然后沿着b的方向走b的长度，达到的点相当于从a的起点沿着a+b的方向走a+b的长度。

实际应用：物体的移动。

向量与标量的乘除

乘法：该向量的各分量与标量相乘 $\ k[x, y, z] = [xk, yk, zk]$ 。
除法：该向量的各分量与标量相除 $\ [x, y, z]/k = [x/k , y/k , z/k]$ 。
几何意义：缩放向量长度。
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实际应用：加速、减速、放大、缩小。

点乘

点乘又称点积或内积。表示为各分量的乘积和。

$\ [x1,y1,z1] \cdot [x2,y2,z2] = x1x2+y1y2+z1z2$

注意结果不是一个向量，而是一个标量（Scalar），可以是负数。

几何意义： $\ a \cdot b = |a||b|\cos(a, b)$ 当a、b的模为1时，ab的点乘值为∠ab的cos值，再通过反余弦就可以获得角度。

// 计算点乘值
float dot = Vector3.Dot(a.position.normalized, b.position.normalized);
// 计算夹角
float angle = Mathf.Acos(dot) * Mathf.Rad2Deg;

第一步计算点乘值，第二步计算夹角。

实际应用：计算两向量的夹角。

点乘常用结果：对于标准化后的向量，方向相同，则点乘为1；方向相反，则点乘为-1；互相垂直，则点乘为0。
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总结：点乘可以用于计算向量夹角，但只能用于计算内夹角，也就是小于180°的夹角。若想超过180°，则需要与叉乘结合。点乘的结果为单个数值。

叉乘

叉乘又称 “叉积” 或 “外积” ，与点乘结果不同，叉乘结果是一个向量，一个垂直于两个向量所组成平面的向量。模长为两向量模长乘积再乘夹角的正弦值。

公式： $\ [x1,y1,z1] \times [x2,y2,z2] = [y1*z1 - z1*y2 , z1*x2 - x1*z2 , x1*y2 - y1*x2]$

代码：Vector3 cross = Vector3.Cross(a.position, b.position);
注意：叉乘不需要加normalized，加不加都不会影响结果。

应用：

创建垂直于平面的向量；
判断两条向量的相对位置。

叉乘获得垂直向量

当 a 到 b 顺时针，则 a x b 朝上。
当 a 到 b 逆时针，则 a x b 朝下。

也可以这样理解：当a、b顺时针夹角小于180时， a x b 朝上；当a、b顺时针夹角大于180时， a x b 朝下。

代码判断：叉乘结果 y > 0 ，则朝上，则小于180°；叉乘结果 y < 0 ，则朝下，则大于180°；

左手规则

a、b向量叉乘获得的垂直向量遵循左手规则，以下图为例：
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以上图手势为标准，垂直于拇指a和食指b形成的平面的向量result就是a、b叉乘的结果。

叉乘计算角度

叉乘也可以用来计算角度，但只能计算0° ~ 90°。

// 计算叉乘结果，叉乘不需要加normalized，但加了也不会有影响
Vector3 cross = Vector3.Cross(a.position, b.position);

// 用叉乘结果换算角度
float angle = Mathf.Asin(cross.magnitude) * Mathf.Rad2Deg;

叉乘常用结果：
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计算360°以内的角（点乘结合叉乘）

点乘结合叉乘，可以计算出360°以内的角。
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// 先用点乘计算角度（180°以内）
float dot = Vector3.Dot(a.position.normalized, b.position.normalized);
float angleX = Mathf.Acos(dot) * Mathf.Rad2Deg;
// 再用叉乘后的y值确定方向
Vector3 cross = Vector3.Cross(a.position, b.position);
if (cross.y < 0)
{
    
    
	angleX = 360 - angleX;
}

先用点乘计算角度（180°以内），再用叉乘后的 y 值确定方向，得数 angleX 为 a 顺时针到 b 的角度。

Vector3

Unity中通常用Vector3类来表示向量，该类的使用方法可以参考我的另外一篇文章：【Unity】Unity常用类：向量Vector3、四元数Quaternion

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