一、磁路的基本定律和铁磁材料的特性

1、磁路的基本定律

分析和计算磁场时，常常要用到两条基本定律，一条是安培环路定律，另一条是磁通连续性定律。把这两条定律应用到磁路，可得磁路的欧姆定律和磁路的基尔霍夫第一和第二定律，下而对这些定律作一说明。

安培环路定律 沿着任何一条闭合回线$L$，磁场强度$H$的线积分$\oint H\cdot dl$恰好等于该闭合回线所包围的总电流值$\sum i$（代数和），公式如下：
$$\oint H\cdot dl=\sum i\text{\hspace{1em}(1)}$$
如果，电流正方向与闭合回线$L$的环行方向符合右手螺旋关系，$i$取正号，否则取负号。如图1，有$\oint H\cdot dl=-i_1+i_2-i_3$

图1. 安培环路定律

磁路的欧姆定律 图1.3（a）是一个无分支的铁心磁路，铁心上绕有$N$匝的线圈，线圈中通有电流$i$，铁心截面积为$A$，磁路的平均长度为$l$，铁心的磁导率为$\mu$，若不计漏磁通，即认为所有磁通都被约束在铁心之内，并认为各截面内的磁场都是均匀分布，$B$（和$H$）的方向总是沿着回线l的切线方向且大小处处相等，此时就有$\oint H\cdot dl=Hl$，而闭合回线$l$所包含的总电流为$\sum i=Ni$，这样式（1）就化简为
$$Ni=Hl\text{\hspace{1em}(2)}$$
又各截面内磁通密度$B$为均匀分布，且垂直于各截面，故磁通量$\varphi$将等于磁通密度$B$乘以面积$A$，即
$$\varphi ={\int }_{A}B\cdot da=BA\text{\hspace{1em}(3)}$$
又$B=\mu H$
于是（2）改写为
$$Ni=\frac{B}{\mu }l=\varphi \frac{l}{\mu A}\text{\hspace{1em}(4)}$$
或
$$F=\varphi R_m\text{\hspace{1em}(5)}$$
式中，$F=Ni$为作用在铁心磁路上的安匝数，称为磁路的磁动势，单位为$A$；磁动势的方向与线圈电流方向之间符合右手螺旋关系；$R_m=\frac{l}{\mu A}$称为磁阻，单位为$A/Wb$。磁阻的倒数称为磁导。

图2. 无分支铁心磁路 a)无分支铁心磁路 b）等效磁路图

式（5）表示，作用在磁路上的磁动势$F$等于磁路内的磁通量$\varphi$乘以磁阻$R_m$，类似于电路中的欧姆定律。
需要注意的是，铁磁材料的磁导率$\mu$不是一个常值，所以磁阻不是常值，而是随着磁路中磁通密度的大小而变化。因此磁路中的磁通量$\varphi$不是随着磁动势$F$的增大而正比增大，或者说$\varphi$与$F$之间不是线性关系，称磁路是非线性的。
磁路的欧姆定律是由安培环路定律导出的，但是，由于磁心磁路是非线性的，所以实际计算时，多数情况下都是利用安培环路定律来计算。

磁通连续性定律 穿出（或进入）任一闭合曲面的总磁通量恒等于零（或者说，进入闭合曲面的磁通量恒等于穿出该闭合曲面的磁通量），表达式为
$${\oint }_{A}B\cdot a=0\text{\hspace{1em}(6)}$$
式中，$da$的方向规定为闭合曲面的外法线方向。

磁路的基尔霍夫第一定律 如果铁心磁路不是一个简单回路，而是带有并联分支的分支磁路，如图3所示，则中间铁心柱上加有磁动势$F$时，磁通的路径将如图中虚线所示。如令穿出闭合面$A$的磁通为正，进入闭合面的磁通为负，根据磁通连续性定律，就有
$$-{\varphi }_1+{\varphi }_2+{\varphi }_3=0$$
或
$$\sum \varphi =0$$

磁路的基尔霍夫第二定律 电机和变压器的磁路通常由数段不同截、不同铁磁材料的铁心组成，磁路中还可能含有气隙。磁路计算时，总是把整个磁路分成若干段，每段为同一材料、且具有相同的截面积，从而段内磁通密度处处相等、磁场强度也处处相等，然后用安培环路定律算出每段磁路中所需的磁动势，最后求得整个闭合磁路所需的总磁动势。例如，图3所示磁路由三段组成，其中1和2为截血不同(分别为$A_1$和$A_2$)的两段铁磁材料，第三段为气隙。若铁心上所加的励磁磁动势为$Ni$ ,根据安培环路定律(磁路的欧姆定律)可得
$$Ni=\sum _{k=1}^3{H}_k{l}_k=H_1{l}_1+H_2{l}_2+H_{\delta }\delta ={\varphi }_1{R}_{m1}+{\varphi }_2{R}_{m2}+{\varphi }_{\delta }{R}_{m\delta }\text{\hspace{1em}(7)}$$
式中，$l_1$和$l_2$分别为1、2两段铁心的平均长度；$l_3$为气隙长度，$l_3=\delta$；$H_1$、$H_2$分别为1、2两端铁心内的磁场强度；$H_3$为气隙内的磁场强度，$H_3=H_{\delta }$；${\varphi }_1$和${\varphi }_2$为1、2两段铁心内的磁通；${\varphi }_{\delta }$为气隙内的磁通；$R_{m1}$、$R_{m2}$为1、2两段铁心磁路的磁阻；$R_{m\delta }$为气隙的磁阻。

图3. 磁路的基尔霍夫第二定律

2、磁化曲线和磁滞回线

初始磁化曲线 在非铁磁材料中，磁通密度$B$和磁场强度$H$之间呈直线关系，直线的斜率就等于${\mu }_0$。铁磁材料的$B$与$H$之间则是曲线关系。曲线$B=f(H)$就称为初始磁化曲线，如图4所示。

图4. 铁磁材料的初始磁化曲线和磁导率

初始磁化曲线大体可分为四段：开始磁化时，外磁场较弱，磁通密度增加得较慢，如$Oa$段，随着外磁场的增强，材料内部大量磁畴开始转向，趋向与外磁场方向，此时$B$值增加得很快，如$ab$段，$ab$段的磁化曲线接近于直线。若外磁场继续增加，大部分磁畴已趋于外磁场方向，可转向的磁畴越来越少，$B$值增加得越来越慢，如$bc$段所示，这种现象称为饱和。饱和以后，磁化曲线基本上将成为与非铁磁材料的$B={\mu }_{0}H$特性相平行的直线，如$cd$段所示。磁化曲线开始拐弯的点（$b$点），称为膝点。
设计电机和变压器时，为使主磁路内得到较大的磁通量而又不过分增加励磁磁动势，通常把铁心内的工作磁通密度选择在膝点附近。

磁滞回线 若将铁磁材料进行周期性磁化，$B$和$H$之间的关系回如图5中曲线$abcdefa$所示的形状。

图5. 铁磁材料的磁滞回线

基本磁化曲线 对同一铁磁材料，选择不同的磁场强度$H_m$进行反复磁化，可得一系列大小不同的磁滞回线，再将各磁滞回线的顶点连接起来，所得曲线称为基本磁化曲线。

图6. 基本磁化曲线

3、铁心损耗

磁滞损耗 铁磁材料置于交变磁场中时，材料被反复交变磁化，与此同时，磁畴相互间不停地摩擦造成损耗，这种损耗称为磁滞损耗。
分析表明，磁滞损耗$p_h$等于磁场交变的频率$f$乘以铁心的体积$V$和磁滞回线的面积$\oint HdB$，即
$$p_h=fV\oint HdB\text{\hspace{1em}(8)}$$
实验表明，磁滞回线的面积与$B_m$的$n$次方成正比，故磁滞损耗也可改写为
$$p_h=C_{h}f(B_m{)}^{n}V\text{\hspace{1em}(9)}$$
其中，$C_h$为磁滞损耗系数，其大小取决于材料的性质。

涡流损耗 因为铁心是导电的，故当通过铁心的磁通随时间交变时，根据电磁感应定律，铁心中将产生感应电动势，并引起环流。这些环流在铁心内部围绕磁场作旋涡状流动，称为涡流，如图7所示。涡流在铁心中引起的损耗，称为涡流损耗。

图7. 硅钢片中的涡流

分析表明，频率越高，磁通密度越大，感应电动势就愈大，涡流损耗也越大；铁心的电阻率越大，涡流所经过的路径越长，涡流损耗就越小。对于由硅钢片叠成的铁心，经推导可知，涡流损耗$p_e$为
$$p_e=C_e{\Delta }^2{f}^2(B_m{)}^{2}V\text{\hspace{1em}(10)}$$
式中，$C_e$为涡流损耗系数，其大小取决于材料的电阻率；$\Delta$为硅钢厚度。

铁心损耗 铁心中磁滞损耗和涡流损耗之和，称为铁心损耗，用$p_{Fe}$表示，即
$$p_{Fe}=p_h+p_e=(C_{h}f(B_m{)}^n+C_e{\Delta }^2{f}^2(B_m{)}^2)V\text{\hspace{1em}(11)}$$
对于一般的电工钢片，式11可近似地写成
$$p_{Fe}\approx C_{Fe}{f}^{1.3}(B_m{)}^{2}G\text{\hspace{1em}(12)}$$
式中，$C_{Fe}$为铁心的损耗系数；$G$为铁心重量。