稳定性与李亚普洛夫方法

系统状态的运动及平衡状态

设所研究系统的齐次状态方程为 $\dot{x}=f(x,t)$，若其在给定初始条件 $(x_0,t_0)$ 下有唯一解：$x=\Phi (t;x_0,t_0)$ 它描述了从舒适条件 $(x_0,t_0)$ 出发的一条状态运动的轨迹。

如果存在状态矢量 $x_e$，对所有的 $t$，都使式 $f(x_e,t)=0$ 成立，则称 $x_e$为系统的$平衡状态$。

$特点：\{\begin{array}{l}①对任意一个系统，不一定都存在平衡点，即使有，也不一定是唯一的|\\ ②任意一个已知的平衡状态，都可以通过坐标变换将其移到坐标原点\end{array}$

稳定性定义

1、李亚普洛夫意义下稳定
如果系统对任意选定的实数 $\epsilon >0$，都对应存在另一个实数 $\delta (\epsilon ,t_0)>0$ 使当 $\parallel x_0-x_e\parallel \le \delta (\epsilon ,t_0)$ 时，从任意初始状态 $x_0$ 出发的解都满足：

$\parallel x_0-x_e\parallel \le \epsilon ,t_0\le t<\infty$
则称平衡状态 $x_e$ 为 $李亚普洛夫意义下稳定$。

2、渐近稳定
①平衡状态 $x_e$ 是稳定的
②当 $t$ 无限增长时，轨迹不仅不超出 $S(\epsilon )$
③最终收敛于 $x_e$

李亚普洛夫第一法（间接法）

线性系统的稳定判据：线性定常系统$\{\begin{array}{l}\dot{x}=Ax+bu\\ y=cx\end{array}$，平衡状态 $x_e=0$ $渐近稳定（指的是状态稳定）的充要条件$：矩阵 $A$ 的所有特征根均具有负实部。

线性系统的输出稳定判据：
线性定常系统$输出稳定的充要条件$：传递函数的极点全部位于 $s$ 的左半平面。

李亚普洛夫第二法（直接法）

设系统的状态方程为 $\dot{x}=f(x)$，平衡状态为 $x_e=0$，满足 $f(x_e)=0$；如果存在一个标量函数 $V(x)$ 满足：$\{\begin{array}{l}①V(x)对所有x都具有一阶偏导数。\\ ②V(x)是正定的\end{array}$
则可以根据 $\dot{V}(x)$ 判断系统的稳定性：$\{\begin{array}{l}①\dot{V}(x)为半负定\Rightarrow x_e：李亚普洛夫意义下稳定\\ ②\dot{V}(x)为负定\Rightarrow x_e：渐近稳定\\ ③\dot{V}(x)为正定\Rightarrow x_e：不稳定\end{array}$