OTSU算法及其Python实现

原理

OTSU算法是大津展之提出的阈值分割方法，又叫最大类间方差法。OTSU并不是一个英文缩写，而是日语假名，是其提出者的姓氏“大津”。

假设存在阈值$T$可以将图像分为两部分，记二者均值为$m_1,m_2$，图像总均值为$m$，像素被分入这两部分的比例分别为$p_1,p_2$。从而

$$\begin{array}{rl}{p}_1+p_2& =1\\ p_1{m}_1+p_2{m}_2& =m\end{array}$$

则类间方差可表示为

$$\begin{array}{rl}{\sigma }^2& =p_1(m_1-m{)}^2+p_2(m_2-m{)}^2\\ & =p_1{m}_1^2+p_2{m}_2^2-m^2\end{array}$$

实现和验证

由于OTSU算法的逻辑和公式都非常清晰，所以实现起来也及其方便

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 计算类间方差
def getVar(img, th):
    slct = img>th
    p1 = np.sum(slct)/img.size
    if p1 in [0, 1]:
        return 0
    p2 = 1-p1
    m1 = np.mean(img[slct])
    m2 = np.mean(img[~slct])
    m = p1*m1+p2*m2
    return p1*m1**2+p2*m2**2-m**2

def otsu(img):
    vs = [getVar(img, th) for th in range(256)]
    return np.argmax(vs)

其中，getVar用于计算类间方差，后面的otsu则返回分割阈值。下面创建函数用于测试otsu算法

def drawOne(fig, index, img):
    fig.add_subplot(index)
    plt.imshow(img, cmap="gray")
    plt.axis('off')

def test():
    img = plt.imread(r"D:\Code\NotePL\python\lena.jpg").astype(float)
    img = np.mean(img, axis=2)
    th = otsu(img)
    print(th)
    fig = plt.figure(figsize=(8,3))
    drawOne(fig, 131, img)
    drawOne(fig, 132, img>th)
    drawOne(fig, 133, img<=th)
    plt.tight_layout()
    plt.show()

效果如下

分析和优化

由于图像的像素值是八位整型，所以迭代256次就可以得到所有的类间方差。

img = plt.imread(r"D:\Code\NotePL\python\lena.jpg").astype(float)
img = np.mean(img, axis=2)
vs = [getVar(img, th) for th in range(256)]
print(np.argmax(vs))    # 121
plt.plot(vs)
plt.show()

类间方差分布如下，当阈值是121时，得到最大类间方差。

对于精度更高的16位图像，或者其他非图像的数值，遍历的方案效率太低了，为此可进行做一个步长二分的爬山算法，代码如下，最终得到的结果位121.7，由于在阈值分割时采用的是大于号，所以效果与121相同。

def climb(img, step, st=0, err=0.1):
    vSt = getVar(img, st)
    while abs(step)>err:
        ed = st+step
        vEd = getVar(img, ed)
        if vEd < vSt:
            step = -step/2
        st, vSt = ed, vEd
    return ed

climb(img, 40)
# 121.71875