关于DP与背包

听说过动态规划（DP）的同学应该都知道有背包问题的存在。

首先我们来了解一下动态规划

基本思想：

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。在这类问题中，可能会有很多可行解。没一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。胎动规划算法与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解为若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适用于动态规划算法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算很多次。如果我们能保存已解决子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。我们可以用一个表来记录所有已解决的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。这就是动态规划算法的基本思路。具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

与分治法最大的差别是：适用于动态规划求解的问题，经分解后得到的子问题往往不是互相独立的（即下一个子阶段的求解是建立在上一个子阶段的解的基础上，进行进一步的求解）

应用场景：

适用于动态规划的问题必须满足最优化原理、无后效性和重叠性。

(1) 最优化原理（最优子结构性质）：一个最优化策略具有这样的性质，不论过去状态和决策如何，对前面的决策所形成的状态而言，余下的决策必须构成最优策略。简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。

(2) 无后效性：将各阶段按照一定的次序排列好之后，对于某个给定的阶段状态，它以前各阶段的状态无法直接影响它未来的决策，而只能通过当前的这个状态。换句话说，每个状态都是过去历史的一个完整总结。这就是无后向性，又称无后效性。

(3) 子问题的重叠性：动态规划将原来具有指数级时间复杂度的搜索算法改进成了具有多项式时间复杂度的算法。其中的关键在于解决冗余，这就是动态规划算法的根本目的。动态规划实质上是一种以空间换时间的技术，它在实现的过程中，不得不存储产生过程中的各种状态，所以它的空间复杂度要大于其他算法。

接下来，看背包问题，嗯，听起来就很朴素。

其实背包问题也很简单，无非就是在容器一定的情况下，往里面塞东西，但是容器的容量有限，总不能把它撑爆吧，那不就弄巧成拙了，所以我们要把利益和效率最大化。在容器容量一定的情况下，根据物体的体积（质量）等条件来判断如何装才能使容器内所存物体的价值最大。这就用到了背包问题。

首先我们来看的是01背包问题

01背包指在容器容量一定下，每种物品只有一个，告诉你他们的体积（或者其它条件），以及价值，来使价值最大化。

代码：（优化后为二重循环）

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int total_weight,wp_weight,every_jz;
int main() {
    cin>>total_weight;
    int dp[total_weight];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    cin>>wp_weight;
    int w[wp_weight],v[wp_weight];
    for(int i=1;i<=wp_weight;i++)
        cin>>w[i];
    for(int i=1;i<=wp_weight;i++)
        cin>>v[i];
    for (int i = 1; i <= wp_weight; i++)
        for (int j = total_weight; j >=w[i] ; j--)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    cout << "总的价值为: " << dp[total_weight] << endl;
    return 0;
}

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进一步的，我们再来看一下完全背包问题

完全背包指在容器容量一定下，每种物品有无数件，告诉你他们每种分别的体积（或者其它条件），价值，力求价值最大化。

代码：（优化后为二重循环）

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int total_weight,wp_weight,every_jz;
int main() {
    cin>>total_weight;
    int dp[total_weight];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    cin>>wp_weight;
    int w[wp_weight],v[wp_weight];
    for(int i=1;i<=wp_weight;i++)
        cin>>w[i];
    for(int i=1;i<=wp_weight;i++)
        cin>>v[i];
    for (int i = 1; i <= wp_weight; i++)
        for (int j = w[i]; j <=total_weight ; j++)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    cout << "总的价值为: " << dp[total_weight] << endl;
    return 0;
}

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最后我们来看一下多重背包问题

即容器容量一定下，每种物品有固定件数，告诉你他们每种分别的体积（或者其它条件），价值，自然还是令价值最大化。

代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int total_weight,w_weight;
int main() {
    cin>>total_weight>>w_weight;
    int w[w_weight],v[w_weight],cot[w_weight],dp[total_weight+1];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= w_weight; i++)
        for (int k = 1; k <= cot[i]; k++)
            for (int j = total_weight; j >= w[i]; j--)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);
    cout << "总的价值为: " << dp[total_weight] << endl;
    return 0;
}

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