作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
随着人类信息技术的飞速发展和应用的广泛落地，物理学、化学、生物学等科学的突破和进步促成了人们对世界的认识的深度探索和知识的提升。而量子力学则是一个重要研究方向，它将宇宙中存在的各种量子现象在一定程度上解读出来，并提供了一种从高温超导到强大的天体物理学等多样化的量子现象的理解新方法。量子计算作为量子计算机的前沿课题，也经历了近两年的快速发展。尽管高维度纠缠态的出现和电路量子位元的出现使得量子计算机的能力越来越强，但其真正意义还需要更加深入和广泛的实践和应用。相信随着人工智能领域的崛起和量子计算的持续发展，未来的量子计算机将会成为一个重大的人机交互和信息处理的新领域。
为了能够更好地理解和掌握量子计算机的原理和应用，本文将通过学习量子基础知识、经典模拟算法、混合算法、随机化算法等量子计算技术的相关理论知识以及具体的代码实现，深入浅出地阐述其架构、特性、优化、和前景展望。
2.1 量子计算的基本概念及术语
2.1.1 量子计算机概述
量子计算机(Quantum Computer)，也被称作“量子芯片”，是利用量子电子（或称为量子比特）作为主要计算单元的计算机系统。量子计算机可以与经典计算机进行对抗性地搭建，即在实际使用过程中拥有与经典计算机同等的性能，且没有任何明显的性能瓶颈，这种计算机模型已经得到广泛的应用。量子计算机由若干量子比特和逻辑门组成，这些量子比特具有统计学上的本征态(eigenstate)和能级(energy level)。在量子计算机中，任一量子态都可以看做由无限多个量子比特组成的“量子系统”。
量子计算机的原理基于物理规律，它在数学上刻画的是量子论。量子态就是描述其中的元素，包括粒子，原子核，甚至氢原子核所张成的子空间。量子系统处于波函数（wave function）的指数数量级中，因此，很难完全用数字来表示，因而量子计算机通常采用离散数值表示的方法来处理量子态。在量子计算机上运行的计算任务一般由如下三个阶段组成：
- 搭建（building）阶段：量子比特和逻辑门构成量子电路，连接起来形成一个完整的量子计算机。
- 操控（operating）阶段：通过调节输入参数（如：提供信息、初始条件、选择运算模式等），对量子电路输入对应的量子态，然后利用量子逻辑门作用，并改变量子态（由初态演变到目标态）。
- 采集（collecting）阶段：经过量子计算机运算后的结果，通常要通过观测和收集才能获得。通常需要对量子比特进行测量或输出数据。由于量子态具有统计规律，因此，不同的输入参数都会导致不同的输出结果。量子计算机的计算能力由其能够解决的问题大小决定，比如可以计算一些微观世界里无法计算的问题或者定性理解一些复杂问题。
2.1.2 量子计算的基本概念
2.1.2.1 海森堡猜想
海森堡猜想是著名的量子力学原理，第一个量子计算实验——Shor's algorithm，也属于该假设下计算的例子。海森堡猜想认为：如果一个封闭系统的量子态满足幺正算符的奇异形式，那么这个系统一定可以通过一个线路上的投影操作，被分解为两个具有奇异特征的纯态（纯 + 酉）。
因此，从逻辑上看，海森堡猜想解决了如何使用量子计算机求解奇异形式的问题。但是，严格来说，海森堡猜想是关于某个固定的量子系统，只是证明了该系统具有奇异形式这一命题，因此，对于某些特定问题，依然不能直接用海森堡猜想证明。除此之外，海森堡猜想本身还有很多局限性，譬如，量子系统是否存在（还是假定存在？）；什么算符需要满足奇异形式（只需某个算符吗？）等。因此，更加一般的量子计算理论和算法才是主要的研究热点。
2.1.2.2 量子态
量子态是指由许多相互作用而构成的系统的波函数。在量子力学中，描述的是一种特殊的波函数——波函数是一种统计规律，因此，我们必须确定该系统的统计量。量子态是一个n维的向量，向量中每个分量对应一个量子比特，值代表相应比特处于激活状态（1）还是非激活状态（0）。
总结一下，对于一个具有n个量子比特的量子系统，其量子态是一个n维向量，表示系统处于各自量子态。由于量子态有序排列组合的所有可能情况，因此，通常情况下，其维度会呈指数增长，只能在有限的一组确定的波函数之内。
2.1.2.3 量子门
量子门(Quantum Gates)是指作用在量子态上的变换操作，作用范围与量子态的大小无关，通常情况下，其作用对象仅是某个特定的量子比特。量子门可以是基本门或高阶门，前者具有简单的结构，后者由基本门构成。目前，量子计算技术已取得较为成熟的理论基础，但仍然存在不少缺陷，因此，新的量子门的开发仍然是极具前景的研究方向。
2.1.2.4 量子计算的两种分类
- 量子搜索算法：通过对量子态进行一定搜索与转移的方式，找到合适的量子态。量子搜索算法通常基于图搜索算法，其优点是可以在量子态空间中有效搜索，并且可以在一定时间内找到解。
- 量子优化算法：通过调整量子态的结构、顺序或参数，找到使得预期目标函数值最小的量子态。当给定一个目标函数时，量子优化算法可以使用许多启发式算法或梯度下降法进行求解，其效果依赖于量子态的初始值、搜索的精度和迭代次数等。
2.1.2.5 量子通信与量子加密
量子通信(Quantum Communication)是利用量子信息处理技术将信息编码并传输到另一方的过程。在量子通信中，两台量子计算机之间通过双边通信链路(Bell states or entanglements)进行交换，来完成两者之间的信息共享。
量子加密(Quantum Encryption)是利用量子通信协议来保证信息安全的过程。量子加密方案依赖于量子态密码学的理论基础，主要包括量子海雷与量子随机数生成器。
2.2 量子计算的基本算法
2.2.1 Shor's algorithm
Shor's algorithm 是第一个量子计算实验，也是量子算法的一个经典案例。这项算法可以在线路上作用奇异矩阵U，分解它为两个奇异向量e1, e2。
具体地说，假设有一个n比特的量子电路，每一个比特对应一个量子比特，我们希望找到两个角度a, b，它们对应两个不同量子态，并且两者满足计算基底[|0>+|1>, |0>-|1>]的性质。也就是说，希望找出两个量子态A和B，他们满足如下条件： $$\lvert A \rangle = a|0>\rangle+\frac{1}{sqrt(N)}|1>\rangle,\quad\lvert B \rangle=b|0>\rangle-\frac{1}{sqrt(N)}|1>\rangle.$$
我们可通过执行如下操作来实现：
使用Hadamard门初始化两个量子比特到均匀叠加态。
对第一个量子比特作用U，然后记录第一比特从|0>变换到|1>的概率，记为p。
重复以下步骤k次：
- 将第二个量子比特从|0>变换到|1>，并同时测量第一个量子比特和第二个量子比特，得到随机数a。
- 对第一个量子比特作用U^(a^(2^j)), j=0,...,k-1，然后记录第一比特从|0>变换到|1>的概率p'。
- 根据以上计算，计算出奇异角度a。
通过海森模型验证上一步得到的角度a，可以判断出奇异角度e1和e2。
对于给定的n，Shor's algorithm可以成功找到一个N=2^n的奇异根，其中N是一个大素数。这项算法在量子计算领域一直是领先的，而且已经有多个算法可以在相同的时间内求解同样的问题。
2.2.2 Grover’s search algorithm
Grover's search algorithm 是对Shor's algorithm的改进，加入了反复查询与逆序等的优化。它的基本思想是通过搜索预期目标函数值的正确答案，直到找到为止。其具体步骤如下：
在一个量子电路中初始化一个量子比特到均匀叠加态。
执行Grover迭代k次，每次迭代包含以下操作：
- 对第i个量子比特进行X操作，然后对全体量子比特作用Hadamard门。
- 对第i个量子比特进行Z操作，然后对全体量子比特作用Hadamard门。
- 对第i个量子比特进行X操作。
对第j个量子比特作用Hadamard门，再对所有其他量子比特作用X操作。重复以上操作k/2次。
对任意一个均匀叠加态的第i个量子比特，它对应的哈密顿量可表示为： $$\hat H_{i}=\sum_{x}\left(-\frac{1}{\pi}\right)^{\lvert x \rangle\rvert X_i\otimes I^{\otimes n}-I^{\otimes n}Y_ix\rangle\langle x\rvert,$$
其中X_i和Y_i分别表示第i个量子比特上的X门和Y门，I^{\otimes n}表示恒等算符，X^{\otimes k}表示X门作用到第k个比特上。
对于第i个量子比特，我们可以对其上述哈密顿量进行傅里叶变换，该变换的振幅对应于第i个量子比特从|0>变为|1>的概率。使用其变换我们就可以在不改变输入态的前提下估计出相应的概率，这也就等价于对该比特作用单比特测量。
在上述的步骤中，我们估计了所有的i值对应的可能概率。那么如何根据这串概率来找到最佳的目标函数呢？Grover的思路是依据预期目标函数值的概率分布，选取使其最大化的估计值作为最终结果。对于一个随机变量，其分布函数可以定义为： $$F_{\beta}(x)=P{X\leqslant x}|c_0+c_1\cos(\alpha_0x)+c_2\cos(\alpha_1x)\cdots c_d\cos(\alpha_dx),$$
其中α_0, α_1,..., α_d为不同频率，c_0, c_1,..., c_d为系数，$\beta=\frac{c_0}{\sqrt{|\Sigma|}}$是标准偏差。
如果我们能够找到使得估计概率分布对应的概率分布函数最大的α_0, α_1,..., α_d值，那么该值将对应于目标函数值θ的最佳估计。
2.2.3 Deutsch–Jozsa algorithm
Deutsch-Jozsa algorithm 用于判定一个函数是不是常数函数，即是否可以通过对输入进行一些操作之后得到输出0，1，无穷多种。具体步骤如下：
初始化两个量子比特到0态。
对第一个量子比特作用Hadamard门，然后对全体量子比特作用X门。
对第二个量子比特作用Hadamard门，然后对全体量子比特作用Z门。
对第二个量子比特作用Hadamard门，再对所有其他量子比特作用X门。
对任意一个均匀叠加态的第一个量子比特，它对应的哈密顿量可表示为： $$\hat H=\frac{1}{4}\sum_{x,y}\left[-I^{\otimes n}Z^{\otimes m}1xZY^{\otimes m}_2y+\lvert y\rvert-1\right]\rvert^{m}{n}\rangle\langle xy\rvert.$$
这里，I^{\otimes n}表示恒等算符，Z^{\otimes m}_1表示作用到第1个比特上面的m个Z门，Y^{\otimes m}_2表示作用到第2个比特上面的m个Y门。这里m的值为2，等于函数f(x,y)的输入长度。
当考虑输入为x时，相应的测量结果为xZY(f(x))，观察其概率分布函数，它等于1/4N(N-1)(N-2)...*(N-m+1)，N是输入的集合大小。该概率表示当输入为x时，所得的输出为0，1，无穷多种的概率。
判断是否存在常数函数。例如，如果函数f(x)=0或f(x)=1，那么相应的结果必然为0或1，且结果是唯一的。