【算法题解】连续子数组的最大和

连续子数组的最大和

题目

输入一个 非空 整型数组，数组里的数可能为正，也可能为负。

数组中一个或连续的多个整数组成一个子数组。

求所有子数组的和的最大值。

要求时间复杂度为 O(n)。

数据范围

数组长度 [1,1000]。
数组内元素取值范围 [−200,200]。

样例

输入：[1, -2, 3, 10, -4, 7, 2, -5]

输出：18

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• 算法标签

  • 动态规划
  • 贪心

解法1:动态规划

• 令$dp[i]$为以$nums[i]$为结尾的子数组中求和最大的子数组
• 有两种可能的转移,一种不要$i$前面的子数组,从$nums[i]$开始为新的子数组;一种是和$nums[i-1]$以及其前面的数构成一个子数组,两种情况取max
• 状态转移方程:

$$dp[i]=max\{\begin{array}{l}dp[i-1]+nums[i]\\ nums[i]\end{array}$$

• 答案:

$$\underset{0\le i\le n}{\max }dp[i]$$

//dp
class Solution {
public:
    const int N=1005;
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int dp[N];
        int ans=-205;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            dp[i]=nums[i];
            if(i)dp[i]=max(dp[i],dp[i-1]+nums[i]);
            ans=max(ans,dp[i]);
        }
        return ans;
    }
};

解法2:贪心

• 考虑第$i$个数$nums[i]$的时候,用一个$sum$记录前$i-1$个数累计的最大连续子数组合
• 如果$sum<0$则说明对子数组的求和没用贡献,可以丢弃,从$nums[i]$开始新的子数组;否则则可以加上$sum$
• 使用一个$ans={\max }_{i}su{m}_i$记录答案,因为$sum$有可能在中间取得最大值随后又变小
• 注意$ans$的初始化要从下界开始而不是$0$

//贪心
class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int sum=0,ans=-205;
        for(int i=0;i<nums.size();i++){
            if(sum<0) sum=nums[i];
            else sum+=nums[i];
            ans=max(ans,sum);
        }
        return ans;
    }
};