灰狼优化算法（Grey Wolf Optimizer，GWO）

一、算法灵感

  灰狼优化算法(Grey Wolf Optimizer, GWO)，由澳大利亚格里菲斯大学学者Mirjalili等人于2014年提出来的一种群智能优化算法。灵感来自于灰狼群体捕食行为。GWO算法模拟了自然界中灰狼的领导等级和狩猎机制。将灰狼分为四种类型，用来模拟等级阶层。此外，还模拟了寻找猎物、包围猎物和攻击猎物三个主要阶段。

二、算法介绍

2.1 初始化

  在GWO中，为了从数学上模拟狼的社会层次，将最优的解定义为alpha( $\alpha$ )用于模拟领头狼(一阶狼)的位置。因此，第二和第三最佳解分别命名为beta( $\beta$ )和delta( $\delta$ ) 用于模拟二阶狼和三阶狼的位置。其余的候选解被假定为omega( $\omega$ )用于模拟从属狼(四阶狼)的位置。在GWO算法中，狩猎(求解)由 $\alpha$ 狼、$\beta$ 狼和 $\delta$ 狼指导。$\omega$ 狼跟着这三只狼。

2.2 搜寻猎物(探索阶段)

  灰狼大多根据 $\alpha$ 狼、$\beta$ 狼和 $\delta$ 狼的位置进行搜索。它们互相分开以寻找猎物，然后汇聚起来攻击猎物。为了在数学上建立发散模型，利用随机值大于 $1$ 或小于 $-1$ 的 $A$ 来迫使灰狼个体偏离猎物。这主要用于算法探索，并可以使GWO进行全局搜索。如图1显示，$|A|>1$ 迫使灰狼偏离猎物，希望找到更强壮的猎物。GWO的另一个有利于探索的组成部分是 $C$ ，其使用等式(4)进行计算，其为随机数，范围为 $[0,2]$。该参数为猎物提供了随机的权重，以便加强($C>1$ 时)或降低($C<1$ 时)猎物位置对灰狼下一个位置的影响，计算公式见公式(1)。

图1 攻击猎物与寻找猎物

2.3 开发阶段

2.3.1 围捕猎物

  在捕猎过程中，灰狼包围了猎物。为了对环绕行为进行数学建模，提出了以下方程式：
$$D=\left|C\cdot X_{\mathrm{p}}(t)-X(t)\right|\text{\hspace{1em}(1)}$$$$X(t+1)=X_{\mathrm{p}}(t)-A\cdot D\text{\hspace{1em}(2)}$$其中，$t$ 表示当前迭代次数，$A$ 和 $C$ 为系数，$X_p$ 为猎物的位置，为猎物的位置，$X(t)$ 为灰狼个体第 $t$ 代的位置。$A$ 和 $C$ 的计算方法如下：
$$A=2a\cdot r_1-a\text{\hspace{1em}(3)}$$$$C=2\cdot r_2\text{\hspace{1em}(4)}$$其中, $r_1$、$r_2$是 $[0,1]$ 中的随机值。为了模拟逼近猎物, $A$ 是区间 $[-a,a]$ 中的一个随机值，其中 $a$ 在迭代过程中从 $2$ 减少到 $0$。

2.3.2 攻击猎物

  灰狼有能力识别猎物的位置并围猎它们。围猎通常由 $\alpha$ 狼来指挥，$\beta$ 狼和 $\delta$ 狼也会偶尔参与狩猎。灰狼个体跟踪猎物位置的数学模型描述如下：
$$D_{\alpha }=\left|C_1\cdot X_{\alpha }-X\right|\text{\hspace{1em}(5)}$$$$D_{\beta }=\left|C_2\cdot X_{\beta }-X\right|\text{\hspace{1em}(6)}$$$$D_{\delta }=\left|C_3\cdot X_{\delta }-X\right|\text{\hspace{1em}(7)}$$其中，$D_{\alpha }$ ，$D_{\beta }$ 和 $D_{\delta }$ 分别表示 $\alpha$ 狼、$\beta$ 狼和 $\delta$ 狼与其他个体间的距离；$X_{\alpha }$ ，$X_{\beta }$ 和 $X_{\delta }$ 分别代表 $\alpha$ 狼、$\beta$ 狼和 $\delta$ 狼当前的位置；$C_1$，$C_2$ 和 $C_3$ 是随机数，$X$ 是灰狼个体的当前位置。
$$X_1=X_{\alpha }-A_1\cdot (D_{\alpha })\text{\hspace{1em}(8)}$$$$X_2=X_{\beta }-A_2\cdot (D_{\beta })\text{\hspace{1em}(9)}$$$$X_3=X_{\delta }-A_3\cdot (D_{\delta })\text{\hspace{1em}(10)}$$其中，$X_1$ ，$X_2$ 和 $X_3$ 分别表示受 $\alpha$ 狼、$\beta$ 狼、$\delta$ 狼影响，$\omega$ 狼调整后的位置。这里取平均值，即：
$$X(t+1)=\frac{X_1+X_2+X_3}{3}\text{\hspace{1em}(11)}$$  灰狼的位置更新方式可以用图2表示。

图2 灰狼的位置更新示意图

2.4 算法伪代码

1. 初始化灰狼种群 $X_i(i=1,2,...,n)$
2. 初始化 $a,A,C,t=0$
3. 计算每个灰狼个体的适应度值
4. $X_{\alpha }$ = 适应度值最好的灰狼个体
5. $X_{\beta }$ = 适应度值第二的灰狼个体
6. $X_{\delta }$ = 适应度值第三的灰狼个体
7. While $t<Max$
8.   For $i=1$ to $N$ do
9.     使用公式(11)更新当前灰狼个体的位置
10.   End For
11.   更新 $a$，$A$ 和 $C$
12.   计算所有灰狼个体的适应度值
13.   更新 $X_{\alpha }$，$X_{\beta }$ 和 $X_{\delta }$
14.   $t=t+1$
15. End While
16. 返回最优解 $X_{\alpha }$

三、实验结果

GWO在23个经典测试函数(设置维度 $dim=30$)的F5、F6、F7中的收敛曲线，测试函数公式如下：

函数	公式	理论值
F5	$$F_5(x)={\sum }_{i=1}^{d-1}[100{(x_{i+1}-x_i^2)}^2+{(x_i-1)}^2]$$	$0.00$
F6	$$F_6(x)={\sum }_{i=1}^d{(x_i+5)}^2$$	$0.00$
F7	$$F_7(x)={\sum }_{i=1}^{d}i\times x_i^4+random[0,1)$$	$0.00$

3.1 F5收敛曲线

3.2 F6收敛曲线

3.3 F7收敛曲线

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四、参考文献

[1] S. Mirjalili, S. M. Mirjalili, A. Lewis. Grey Wolf Optimizer[J]. Advances in Engineering Software, 2014, 69, 46-61.