《算法竞赛·快冲300题》每日一题：“凑二十四”

《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。

“ 凑二十四” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1793

题目描述

【题目描述】 给你n个数字，你需要在n-1个间隔中添加符号+、-、×，按照正常优先级计算结果。请你输出有多少种方案，计算结果等于24。
【输入格式】 第一行为正整数n（2≤n≤10）。第二行n个正整数表示给定的n个数字，数字不超过50。
【输出格式】 输出一个数字表示答案。
【输入样例】

5
2 4 6 8 16

【输出样例】

2

---

题解

   如果尝试所有可能组合，共有多少种组合？最多n=10个数字时，需要添加9个符号，共$3^9=19683$种组合，并不多。
  用DFS搜索所有可能组合。由于只有19683种情况，不用剪枝。
  代码用dfs()搜索所有符号组合。对每个组合，用check()检查计算结果是否等于24。先计算乘法，再计算加减。下面的代码用了简单直接的模拟法。先处理表达式中的乘法，对两个数做乘法时，把计算结果存在后面，前面置零，并把符号改为前面的加减，例如3+4×5，先处理乘法，转换为3+0+20。
  check()也有其他写法，例如先把表达式（称为中缀表达式）转为逆波兰表达式，然后用栈来计算逆波兰表达式。因为比较繁琐，这里没有给出代码。
【重点】 DFS 。

C++代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int n, a[11];
int op[11];               //第i个间隔的符号 + - * = 0 1 2
int ans;
ll check(){
    
       //先计算*，再计算+-
    ll t[11] = {
    
    0}, t_op[11] = {
    
    0};
    for(int i=1; i<=n; i++)
        t[i] = a[i], t_op[i] = op[i];
    //先处理乘号：把乘积结果存入t[i+1]、t[i]设置为0、符号沿用前面的符号
    for(int i = 1; i < n; i++)
        if(t_op[i] == 2)
            t[i+1] *= t[i], t[i] = 0, t_op[i] = t_op[i-1];
    //最后加减
    ll sum = t[1];
    for(int i = 1; i < n; i++){
    
    
        if(t_op[i] == 0)  sum += t[i+1]; //加
        else sum -= t[i+1];              //减
    }
    return sum;
}
void dfs(int depth){
    
    
    if(depth == n){
    
    
        if(check() == 24)   ans++;
        return;
    }
    for(int i = 0; i <= 2; i++) {
    
       //继续添加下一个符号
        op[depth] = i;
        dfs(depth + 1);
    }
}
int main(){
    
    
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i++)    cin >> a[i];
    dfs(1);
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

Java代码

import java.util.Scanner;
public class Main {
    
    
    static int n, a[] = new int[11], op[] = new int[11]; // 第i个间隔的符号 + - * = 0 1 2
    static int ans;
    public static void main(String[] args) {
    
    
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        for (int i = 1; i <= n; i++)   a[i] = in.nextInt();
        dfs(1);
        System.out.println(ans);
        in.close();
    }
    static long check() {
    
     // 先计算*，再计算+-
        long[] t = new long[11];
        int[] t_op = new int[11];
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
    
    
            t[i] = a[i];
            t_op[i] = op[i];
        }
        // 先处理乘号：把乘积结果存入t[i+1]、t[i]设置为0、符号沿用前面的符号
        for (int i = 1; i < n; i++) {
    
    
            if (t_op[i] == 2) {
    
    
                t[i + 1] *= t[i];
                t[i] = 0;
                t_op[i] = t_op[i - 1];
            }
        }
        // 最后加减
        long sum = t[1];
        for (int i = 1; i < n; i++) {
    
    
            if (t_op[i] == 0) sum += t[i + 1]; // 加
            else              sum -= t[i + 1]; // 减
        }
        return sum;
    }
    static void dfs(int depth) {
    
    
        if (depth == n) {
    
    
            if (check() == 24)   ans++;
            return;
        }
        for (int i = 0; i <= 2; i++) {
    
     // 继续添加下一个符号
            op[depth] = i;
            dfs(depth + 1);
        }
    }
}

Python代码

n = int(input())
a = [0]+list(map(int, input().split()))     #输入到a[1]-a[10]
op = [0] * 11                               # 第i个间隔的符号 + - * = 0 1 2
ans = 0
def check():# 先计算*，再计算+-
    t = [0] * 11
    t_op = [0] * 11
    for i in range(1, n+1):
        t[i] = a[i]
        t_op[i] = op[i]
    # 先处理乘号：把乘积结果存入t[i+1]、t[i]设置为0、符号沿用前面的符号
    for i in range(1, n):
        if t_op[i] == 2:
            t[i+1] *= t[i]
            t[i] = 0
            t_op[i] = t_op[i-1]
    # 最后加减
    sum = t[1]
    for i in range(1, n):
        if t_op[i] == 0: sum += t[i+1]  # 加
        else:            sum -= t[i+1]  # 减
    return sum
def dfs(depth):
    global ans
    if depth == n:
        if check() == 24:   ans += 1
        return
    for i in range(3):                  # 继续添加下一个符号
        op[depth] = i
        dfs(depth + 1)
dfs(1)
print(ans)