《算法竞赛·快冲300题》将于2024年出版，是《算法竞赛》的辅助练习册。
所有题目放在自建的OJ New Online Judge。
用C/C++、Java、Python三种语言给出代码，以中低档题为主，适合入门、进阶。
“ 浇水” ，链接： http://oj.ecustacm.cn/problem.php?id=1902
题目描述
【题目描述】 给出 N 滴水的坐标，y 表示水滴的高度，x 表示它下落到 x 轴的位置。
每滴水以每秒 1 个单位长度的速度下落。
你需要把花盆放在 x 轴上的某个位置，使得从被花盆接着的第 1 滴水开始，到被花盆接着的最后 1 滴水结束，之间的时间差至少为 D。
我们认为，只要水滴落到 x 轴上，与花盆的边沿对齐或者在花盆中，就认为被接住。
给出 N 滴水的坐标和 D 的大小，请算出最小的花盆的宽度 W。
【输入格式】 第1行：两个整数 N 和 D，1 <= N <= 100,000，1 <= D <= 1,000,000。
接下来 N 行：每行两个整数 x，y，表示雨滴的坐标，0 <= x, y <= 1,000,000。
【输出格式】 仅一行 1 个整数，表示最小的花盆的宽度。
如果无法构造出足够宽的花盆，使得在 D 单位的时间接住满足要求的水滴，则输出 −1。
【输入样例】
4 5
6 3
2 4
4 10
12 15
【输出样例】
2
题解
题目的意思有点费解，用样例解释。有n = 4个水滴，把花盆放在某个地方接水滴，从接到第1个水滴开始，到接到最后一个水滴，要求落到花盆的所有水滴的总时间超过d = 6秒。问花盆的最小宽度是多少。答案是选第一个水滴(6, 3)和第三个水滴(4, 10)，它们落到花盆里的时间差是10 - 3 = 7，超过6秒，花盆的宽度是6 - 4 = 2。
下面概况题意。任选一个区间（花盆宽度）[L,R]，统计这个区间内最大值和最小值（最高和最低水滴）的差，如果≥d，称为一个合法区间，记录区间宽度。遍历所有这种合法区间，找到最小宽度，就是答案。
区间问题可以用尺取法，用快慢指针形成的“滑动窗口”遍历所有区间，计算复杂度 O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，超时。本题至少需要 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)复杂度的算法。
用滑动窗口遍历区间的方法，除了尺取法，还有单调队列。《算法竞赛》第10页有一道类似的例题“洛谷P1886”。给定一个固定的窗口宽度k，要求输出所有窗口宽度等于k的区间内的最大最小值。用单调队列求解，复杂度仅为 O ( n ) O(n) O(n)。请仔细阅读这一节的内容，理解为什么复杂度是 O ( n ) O(n) O(n)的。
本题和洛谷P1886相同的地方都是求窗口内最大最小值，区别是本题没有给定固定的窗口宽度。那么用二分法来猜一个最小的k即可：每次猜一个窗口宽度k，用函数check(k)判断窗口宽度为k时有没有合法的区间，函数check()用单调队列求解。“二分法+单调队列”的计算复杂度，二分法猜 O ( l o g n ) O(logn) O(logn)次，每次用check()求所有宽度为k的区间的最大最小值是 O ( n ) O(n) O(n)的，总复杂度 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)。
代码中的单调队列是手写的（手写队列见《算法竞赛》，清华大学出版社，罗勇军、郭卫斌著，7页）。h是队头，t是队尾；保持h≤t，队列长度等于t - h + 1；h++表示弹出（删除）队头，t–表示弹走（删除）队尾。
函数check(k)的功能是检查有没有一个宽度为k的合法窗口，这个窗口内的最大最小值差≥d。用两个单调队列分别求窗口内的最大和最小值。q1是单调递增队列，队头是最小值；q2是单调递减队列，队头是最大值。
【重点】 单调队列 。
C++代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100001;
int n,d;
int q1[N],q2[N]; //q1队头是窗口内最小值，q2队头是窗口内最大值
struct node{
int x,y;}a[N];
int cmp(node u,node v){
return u.x<v.x;}
bool check(int k){
memset(q1,0,sizeof(q1)); //单调递增，队头最小
memset(q2,0,sizeof(q2)); //单调递减，队头最大
int h1=1,t1=0,h2=1,t2=0; //h:队头，t队尾 ，注意保持 h<=t
for(int i=1;i<=n;i++){
//a[i]一个个地从队尾进入
while(h1<=t1 && a[q1[h1]].x < a[i].x-k) h1++; //窗口宽度大于k了，弹走队头，减小到k
while(h1<=t1 && a[i].y < a[q1[t1]].y)
t1--; //如果原队尾比a[i].y更大，删除队尾。保持队头a[q1[h1]].y最小
q1[++t1]=i; //现在队内都比a[i]小了，a[i]从队尾进队
//前面几行求窗口内的最小值，下面几行求窗口内的最大值
while(h2<=t2 && a[q2[h2]].x < a[i].x-k) h2++; //窗口宽度大于k了，弹走队头，减小到k
while(h2<=t2 && a[i].y > a[q2[t2]].y)
t2--; //如果原队尾比a[i].y更小，删除队尾。保持队头a[q2[h2]].y最大
q2[++t2]=i; //现在队内都比a[i]大了，a[i]从队尾进队
if(a[q2[h2]].y-a[q1[h1]].y >= d) return true; //窗口内最大值最小值之差大于等于d
}
return false;
}
int main(){
cin>>n>>d;
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y);
sort(a+1,a+n+1,cmp); // 根据x值升序
int L=1,R=1e6,ans=-1;
while(L<=R){
//二分求最小宽度
int mid=(L+R)>>1;
if(check(mid)) ans=mid,R=mid-1;
else L=mid+1;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
Java代码
import java.util.*;
import java.io.*;
class Main {
static class Node {
int x, y;
Node(int x, int y) {
this.x = x;
this.y = y;
}
}
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int n = scanner.nextInt();
int d = scanner.nextInt();
Node[] a = new Node[n + 1];
for (int i = 1; i <= n; i++) {
int x = scanner.nextInt();
int y = scanner.nextInt();
a[i] = new Node(x, y);
}
Arrays.sort(a, 1, n + 1, (u, v) -> u.x - v.x);
int L = 1, R = 1000000, ans = -1;
while (L <= R) {
int mid = (L + R) >> 1;
if (check(a, n, d, mid)) {
ans = mid;
R = mid - 1;
} else {
L = mid + 1;
}
}
System.out.println(ans);
}
static boolean check(Node[] a, int n, int d, int k) {
int[] q1 = new int[n+10];
int[] q2 = new int[n+10];
int h1 = 1, t1 = 0, h2 = 1, t2 = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
while (h1 <= t1 && a[q1[h1]].x < a[i].x - k)
h1++;
while (h1 <= t1 && a[i].y < a[q1[t1]].y)
t1--;
q1[++t1] = i;
while (h2 <= t2 && a[q2[h2]].x < a[i].x - k)
h2++;
while (h2 <= t2 && a[i].y > a[q2[t2]].y)
t2--;
q2[++t2] = i;
if (a[q2[h2]].y - a[q1[h1]].y >= d)
return true;
}
return false;
}
}
Python代码
#pypy
import sys
input = sys.stdin.readline
def check(a, n, d, k):
q1 = [0] * (n + 1)
q2 = [0] * (n + 1)
h1, t1, h2, t2 = 1, 0, 1, 0
for i in range(1, n + 1):
while h1 <= t1 and a[q1[h1]][0] < a[i][0] - k: h1 += 1
while h1 <= t1 and a[i][1] < a[q1[t1]][1]: t1 -= 1
t1 += 1
q1[t1] = i
while h2 <= t2 and a[q2[h2]][0] < a[i][0] - k: h2 += 1
while h2 <= t2 and a[i][1] > a[q2[t2]][1]: t2 -= 1
t2 += 1
q2[t2] = i
if a[q2[h2]][1] - a[q1[h1]][1] >= d: return True
return False
n, d = map(int, input().split())
a = [(0,0)]
for _ in range(n):
x, y = map(int, input().split())
a.append((x, y))
a.sort()
L, R, ans = 1, 1000000, -1
while L <= R:
mid = (L + R) >> 1
if check(a, n, d, mid):
ans = mid
R = mid - 1
else: L = mid + 1
print(ans)