1.罗德里格(Rodrigues)旋转公式
设v是一个三维空间向量，k是旋转轴的单位向量，则初始向量V 在右手螺旋定则意义下绕旋转轴k旋转角度θ后得到的向量Vrot可以由三个不共面的向量v, k和k×v构成的标架表示：
2.矩阵形式
在计算机图形学中，罗德里格向量旋转公式通常被用来填写旋转矩阵。如果把k和v分别写为列向量：
3.等效旋转矢量
(1)定义
如图,由罗德里格(Rodrigues)旋转公式得:
旋转后得向量r'是旋转角度和单位向量u的函数关系。 
则D表达式变为：
我们把
称为等效旋转矢量(equivalent Rotation Vector, RV 简称旋转矢量)
4.等效旋转矢量与方向余弦矩阵关系
由证明可得方向余弦矩阵C=D(罗德里格旋转公式中的D),则由
5.求解旋转矢量和旋转角度
6.等效旋转矢量微分方程
7.等效旋转矢量微分方程解
也叫等效旋转矢量双子样算法:
总结: 方向余弦阵更新算法和四元数更新算法都是假设动坐标系做“定轴转动”时才能成立的.如果不是"定轴转动",由角增量直接求解变化矩阵或四元数,会引入"不可交换"误差.为了减小"不可交换"误差,往往通过角增量求解等效旋转矢量,再利用等效旋转矢量更新方向余弦阵或四元数.