【题解】UVa 12093 Protecting Zonk

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题目大意：给定一个$n$($n \leq10000$)个结点的无根树。有两种装置$A$和$B$，每种都有无限多个。
在某个结点$X$安装$A$需要$C1$的花费，并且此时与结点$X$相连的边都被覆盖。
在某个结点$X$安装$B$需要$C2$的花费，并且此时与结点$X$相连的边和与$X$相连的点的边都会被覆盖。
求覆盖所有边的最小花费。

我们先从$1$号点跑一遍dfs，将无根树转化成有根树。
观察到结点$u$一共可能会有四种状态，我们对其加以分类：
$d(u, 0)$ 表示$u$没有安装装置，且$u$的子节点与$u$相连的边都需要被覆盖。
$d(u, 1)$表示$u$安装$A$装置
$d(u, 2)$表示$u$安装$B$装置
$d(u, 3)$表示$u$没有安装装置，且$u$的子节点不必安装装置。

状态转移方程

$d(u, 0) = \sum min(d(v, 1), d(v,2))$
$d(u, 1) = \sum min(d(v, 0), d(v, 1), d(v, 2))+ C1$
$d(u, 2) = \sum min(d(v, 0), d(v, 1), d(v, 2), d(v, 3)) + C2$
$d(u, 3) = \sum min(d(v, 0), d(v, 1), d(v, 2))$
这样的状态转移方程是不完整的，同时也是一个大坑，原因在于只要$u$有一个子节点安装了$B$装置，$u$的所有子节点都会被覆盖
所以，$d(u, 1)$还要加一个特殊处理，当至少有一个子节点选$B$时对$\sum min(d(v, 0), d(v, 1), d(v, 2))$取个$min$。
这样，状态转移方程就完整了。

$Code$

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define MAXN 100010
#define INF 0x3f3f3f3f
struct EdgeType {
    int to, next;
};
std::vector< EdgeType > edge;
int head[MAXN], d[MAXN][4];
inline int _min(int a, int b, int c) {
    return std::min(a, std::min(b, c));
}
inline void AddEdge(int u, int v) {
    edge.push_back((EdgeType){v, head[u]});
    head[u] = edge.size() - 1;
}
void solve(int u, int p) {
    int sum = 0, min = INF;
    for (int i = head[u]; i != -1; i = edge[i].next) {
        int v = edge[i].to;
        if (v == p) continue;
        solve(v, u); 
        d[u][0] += std::min(d[v][1], d[v][2]);
        d[u][1] += _min(d[v][0], d[v][1], d[v][2]);
        d[u][2] += std::min(_min(d[v][0], d[v][1], d[v][2]), d[v][3]);
        d[u][3] += _min(d[v][0], d[v][1], d[v][2]);
        int temp = _min(d[v][0], d[v][1], d[v][2]);
        sum += temp;
        min = std::min(min, d[v][2] - temp);
    }
    d[u][1] = std::min(d[u][1], sum + min);
}
int main() {
    int n, p, q;
    while (scanf("%d%d%d", &n, &p, &q) != EOF && n != 0) {
        memset(head, -1, sizeof head);
        edge.clear();
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            d[i][0] = 0;
            d[i][1] = p;
            d[i][2] = q;
            d[i][3] = 0;
        }
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            int u, v;
            scanf("%d%d", &u, &v);
            AddEdge(u, v);
            AddEdge(v, u);
        }
        solve(1, -1);
        printf("%d\n", _min(d[1][0], d[1][1], d[1][2]));
    }
    return 0;
}