算法笔记：平衡二叉树

1 介绍

• 平衡二叉树（AVL树）是一种特殊的二叉搜索树（BST），它自动确保树保持低高度，以便实现各种基本操作（如添加、删除和查找）的高效性能。
  • ——>时间都维持在了O(logN)
• 它是一棵空树，或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树

• 平衡二叉树大部分操作和二叉查找树类似，主要不同在于插入删除的时候平衡二叉树的平衡可能被改变

2 插入

• 把需要重新平衡的结点叫做α（下图中的6）
• 由于任意两个结点最多只有两个儿子，因此高度不平衡时，α结点的两颗子树的高度相差2.
• 容易看出，这种不平衡可能出现在下面4中情况中：

  • 1.对α的左儿子的左子树进行一次插入

    2.对α的左儿子的右子树进行一次插入

    3.对α的右儿子的左子树进行一次插入

    4.对α的右儿子的右子树进行一次插入

    • 
  • 情形1和情形4是关于α的镜像对称，二情形2和情形3也是关于α的镜像对称
    • ——>因此理论上看只有两种情况
      • 外：左左（左孩子的左子树长）、右右（右孩子的右子树长）
      • 内：左右、右左

2.1 单旋转

2.1.1 左旋转

左旋转的基本步骤如下：

1. 首先创建一个新节点 ，该节点的值设为根节点的值；
2. 新节点的左指针指向根节点的左子树；
3. 新节点的右指针指向根节点的右子节点的左子树；
4. 将根节点的值设置为根节点的右子节点的值；
5. 根节点的左指针指向新节点；
6. 根节点的右指针指向其右子节点的右子树。

比如我们插入8：

显然此时不是平衡二叉树，我们进行左旋转调整

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于是得到了一棵二叉树

2.1.2 右旋转

右旋转基本步骤如下：

1. 首先创建一个新节点，新节点的值设为根节点的值；
2. 新节点的右指针指向根节点的右子树；
3. 新节点的左指针指向根节点的左子节点的右子树；
4. 将根节点的值设为其左子节点的值；
5. 根节点的左指针指向其左子节点的左子树；
6. 根节点的右指针指向新节点。

比如我们插入一个1

显然此时不是平衡二叉树，我们进行右旋转调整

2.2 双旋转

对于左右和右左两种情况，单旋转不能解决问题，要经过两次旋转

首先以K1为根，做一次左旋转；

然后以K3为根，做一次右旋转

2.2.1 判断是否需要双旋转

双旋转代码的核心思想在于：在创建二叉树的过程中，每次添加新的节点，都要判断一下该二叉树是否需要旋转。

• 如果二叉树需要左旋，则先判断根节点的右子节点的左子树高度是否大于右子树的高度，如果大于则先对根节点的右子树进行右旋，最后再对原二叉树进行左旋；
• 如果二叉树需要右旋，则先判断根节点的左子节点的右子树高度是否大于左子树的高度，如果大于则先对根节点的左子树进行左旋，最后再对原二叉树进行右旋。

左子树的右子树大——先左子树旋转，再整体旋转

右子树的左子树大——先右子树旋转，再整体旋转

3 删除

同插入操作一样，删除结点时也有可能破坏平衡性，这就要求我们删除的时候要判断是否进行平衡性调整

3.1 删除根结点

• 如果左右子树都非空。在高度较大的子树中实施删除操作

  • 左子树高度大于右子树高度，将左子树中最大的那个元素赋给当前根节点，然后删除左子树中元素值最大的那个节点

  • 左子树高度小于右子树高度，将右子树中最小的那个元素赋给当前根节点，然后删除右子树中元素值最小的那个节点。

3.2 删除的时候进行旋转调整

参考内容：平衡二叉树详解 - zhangbaochong - 博客园 (cnblogs.com)

平衡二叉树（AVL树）_RonzL的博客-CSDN博客