JZOJ 5723. 贪婪人

题目

假设有一个$n*m$的棋盘，除左上角的格子的数字为$0$外，每一个格子的数字为$[0,S]$中的任意一个整数。
每次走右边或者下面数字较大的那个格，如果数字一样大，则走右边。
问走过的格子上的数字之和为$S$的棋盘有多少种。

题解

对于$n,m,S≤100$的，直接DP，设$f[i][j][k]$表示走到$(i,j)$，和为$k$的棋盘有多少个？这样子不好转移，因为考虑到有些格子对你走的路径没有影响。
那么$f[i][j][k]$只用记录那些确定了的方案数。
则

$$f[i+1][j][k+l]+=f[i][j][k]*l$$
$$f[i][j+1][k+l]+=f[i][j][k]*(l+1)$$
$l$是接下来和增加的量。
最下或最右的每个格子对答案的总贡献为 $\Sigma Geban(S-k,m-i)*f[n][i][k]*(S+1)^{nm-1-2(n-1+i-1)-(m-i)}+\Sigma Geban(S-k,n-i)*f[i][m][k]*(S+1)^{nm-1-2(m-1+i-1)-(n-i)}$
$n,m≤2500$怎么做？
由于向右走和向下走是互不干扰的，所以可以分开搞。
$f[i][j]$表示向下走 $i$步，和为 $j$的方案数。
$g[i][j]$表示向右走 $i$步，和为 $j$的方案数。
然后卷一下就能够得到走到每个 $(i,m)$或 $(n,i)$的方案数。
枚举总和，还有向右移的和。
时间复杂度 $O(n*S^2)$。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define N 3005
#define M 105
#define mo 10007
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
int i,j,k,l,n,m,S,ans,temp,t,t1;
int f[N][M],g[N][M];
int x,y,z;
int jc[N+M],ny[N+M];
void add(int &x,int y){x=x+y>=mo?x+y-mo:x+y;}
int ksm(int x,int y){
    int rs=1;
    for(;y;y>>=1,x=(x*x)%mo)if(y&1)rs=(rs*x)%mo;
    return rs;
}
void pre(){
    int i,j;
    jc[0]=jc[1]=ny[0]=ny[1]=1;
    fo(i,2,N+M-10)jc[i]=(jc[i-1]*i)%mo;
    ny[N+M-10]=ksm(jc[N+M-10],mo-2);
    fd(i,N+M-11,2)ny[i]=(ny[i+1]*(i+1))%mo;
}
int C(int n,int m){
    return ((jc[n]*ny[m])%mo*ny[n-m])%mo;
}
int gb(int n,int m){
    return C(n+m-1,m-1);
}
int main(){
    pre();
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&S);
    ans=0;
    f[0][0]=1;
    fo(i,0,n-1)
        fo(j,0,S)
            fo(k,0,S-j)
                add(f[i+1][j+k],f[i][j]*k%mo);
    g[0][0]=1;
    fo(i,0,m-1)
        fo(j,0,S)
            fo(k,0,S-j)
                add(g[i+1][j+k],g[i][j]*(k+1)%mo);
    fo(x,1,n-1){
        t=ksm(S+1,n*m-1-2*(m-1+x-1)-(n-x));
        t1=0;
        fo(y,0,S){
            fo(z,0,y){
                temp=gb(x-1,m-1)*f[x-1][z]%mo;
                temp=(temp*g[m-1][y-z])%mo;
                t1=(t1+temp*gb(S-y,n-x)%mo)%mo;
            }
        }
        add(ans,(t1*t)%mo);
    }
    fo(x,1,m-1){
        t=ksm(S+1,n*m-1-2*(n-1+x-1)-(m-x));
        t1=0;
        fo(y,0,S){
            fo(z,0,y){
                temp=gb(x-1,n-1)*g[x-1][z]%mo;
                temp=(temp*f[n-1][y-z])%mo;
                t1=(t1+temp*gb(S-y,m-x)%mo)%mo;
            }
        }
        add(ans,(t1*t)%mo);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}