【莫比乌斯反演，欧拉筛】洛谷P2568 GCD

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$Description$

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求

$\sum_{p\in prime} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[gcd(i,j)=p]$

$n\leq 10^7$

---

本题有两种解法，其一为欧拉函数，另一个为莫比乌斯反演，由于本人实力太弱，暂时只会欧拉的方法，当本人学会莫比乌斯反演的时候再补上，见谅！ $——2019/3/27$

$Solution\ 1$

用 $gcd$的套路日常相除
$\sum_{p\in prime} \sum_{i=1}^{\lfloor \frac np\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac np\rfloor}[gcd(i,j)=1]$

由于 $gcd(i,j)=gcd(j,i)$，所以我们可以直接设 $i\geq j$，然后乘上一个2，但是这样会多算一次 $i=j=1$的情况，所以要对方案数-1
$\sum_{p\in prime}( \sum_{i=1}^{\lfloor \frac np\rfloor}\sum_{j=1}^i2[gcd(i,j)=1]-1)$

最后一个求和符号实际上就是 $\varphi(i)$，于是乎
$\sum_{p\in prime}( \sum_{i=1}^{\lfloor \frac np\rfloor}2\varphi(i)-1)$

这个时候我们直接用欧拉筛筛出素数，套进公式一看，发现复杂度是 $O(素数的个数\times n)$，好想会 $T$，咋办呢？

注意到第二个求和符号实际上是一个前缀和，所以我们设 $sum[i]=\sum_{j=1}^i\varphi(i)$，就可以愉快 $O(n)$啦
$\sum_{p\in prime}(sum[\lfloor \frac np\rfloor]-1)$

---

$Code\ 1$

#include<cstdio>
using namespace std;
const int N=1e7;
int n,phi[N+1],v[N+1],prime[N+1],m;
long long sum[N+1],ans;
signed main()
{
	scanf("%d",&n);
	phi[1]=1;sum[1]=1;
	for(register int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(!v[i])
		{
			v[i]=i;prime[++m]=i;
			phi[i]=i-1;
		}
		for(register int j=1;j<=m;j++)
		{
			if(prime[j]>v[i]||prime[j]*i>n) break;
			v[i*prime[j]]=prime[j];
			phi[i*prime[j]]=phi[i]*(i%prime[j]?prime[j]-1:prime[j]);
		}
	}
	for(register int i=2;i<=n;i++) sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
	for(register int i=1;i<=m;i++)
	{
		if(prime[i]>n) break;
		ans+=(sum[n/prime[i]]*2)-1;
	}
	printf("%lld",ans);
}