《数学简史:确定性的消失》读书笔记(一周目)

花了近一个月的时间阅读，做个总结也算是给自己付出的这段时光一个交代。

尽管阅读本书前，我已经通过大学课程接触过部分数学，比如工科数学分析、线性代数、复变函数、概率论与数理统计、数学物理方程、数值计算、随机过程等，但也只是停留在定理的理解与在习题中运用——即，只学了其“形”，甚至连“形”也没有掌握牢固；然而，这些学科的起源，或是它们之间的内在联系，我几乎没有主动了解过。就像书的封面上所说，“现今绝大多数人仍然相信物理世界的真理以及人类理性的严密"，数学的神秘以及其在生活各方各面的应用，使得其在我心中处于无比神圣的地位，其余科学都是由它产生；另外，对于数学证明方法以及推理得出的结论，我几乎深信不疑。当然，这是在我读这本书之前的认识。

读这本书的契机便是22年的暑期社会实践，其中一项要求便是阅读一本经典，这本书正是咱们一位优秀校友推荐的，当然，真正让我决定“读这本书”的原因——研学与创新需要有扎实的数学基础，为此我需要全面地回顾我学过的这些数学分支，而了解数学的发展历史能帮助我更好地理解数学，揭开数学的神秘面纱，感受它的魅力，知悉它的局限，进而为在研学中自主创新筑基。

读这本书期间，我对数学的态度发生了起起伏伏的变化，下面这张走势曲线能较为精准地反映我的心路历程(其中横轴代表阅读历程，按章节计；纵轴是我对数学的态度)。

读这本书，就好比追一个经典番剧，或是游玩一款3A巨作，而且从上面的走势图来看，名为《数学简史》的著作显然描绘了一个史诗感拉满的悲剧，好在结局处至少给予了观众“黑暗中的一丝暖光”；再想到，我们体会到的喜悦与苦闷，可能远不及那些推动数学发展的数学家们，当数学不再代表真理，确定性彻底消失时，这种信仰的崩塌时的心情，用言语恐怕无法描述。

老实说，初次读完这本书，尽管我从书中把握了大致的脉络，但囿于数学概念的不解和基础的缺失，比如从集合论开始的一些专业知识，如选择公理、连续统假设、哥德尔不完备定理、策梅洛-弗伦克尔公理等等，我在后半部分的阅读体验并不流畅，总体印象也不深刻，或许过一阵子这些内容就会完全遗忘——这也没办法，就好比当我完全不懂线性代数时，一个人给我一直在讲有关的定理一样。

即便如此，本书的核心我还是或多或少能把握住的，并且将伴随着我今后的人生，要点如下：

1. 数学是人造宝石，和其他自然科学一样，也是科学，其知识体系中的任何理论都有可能在未来被证伪。两千多年来，人们为数学的真理性和确定性做出了很多努力，数学在众多学科中被认为是特殊的，其一就是自古希腊一来，人们将其视为真理，尽管18世纪时，“不再信上帝依靠数学对自然进行设计”以及非欧几何与四元数的出现使得真理性逐步丧失了，人们依旧为其确定性和基础严密性做了努力，这趟旅途可谓磕磕绊绊，逻辑悖论的出现与解决使得数学体系进一步扩大，形成了如逻辑、直觉、形式和集合论公理化四大派系，他们相互争斗，却并未给数学的地基带来实质改善，直到哥德尔不完备定理以及勒文海姆-斯科伦定理的出现，直接割断了数学真理性和确定性的最后一根稻草。

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2. 数学是对自然的一种抽象，是人类理性活动的产物，看似可以超脱于自然而通过人类思维进行创造，但历史上几乎所有伟大的发现和发明都离不开自然的启示。数学理论之所以会在科学上有意想不到的应用，是因为它立足于物理基础，而绝非源自那些苦思冥想的天才数学家的预言性的洞察力。这些层出不穷的成功应用绝不是偶然的。…实际上，在成千上万的纯数学家的工作中可能会偶然得到有用的数学成果，就好像在大街上寻找金币的人有可能会捡到金币。但是，如果没有与现实相融汇的智力上的努力，则几乎可以肯定是没有结果的。

3. 数学不再绝对可靠，公理体系不再权威，但仍可以将数学在科学上的运用作为可靠性的指导和检验准则。数学也许不完全靠得住，但也是人类智力产物中最为可信的工具了，可以供实际工程以参考，而现实工程中往往会在数学计算的基础上考虑增添容错空间。

4. 数学终究是对自然本质的一种简要描述与逼近，却出乎意料地能很好地描述自然现象。一般而言，只要在现阶段是对的，并且能很好地应用到实际中，我们就应该大胆采用它，只不过对于未来可能出现的错误我们也得做到心里有底。数学这种出乎意料的精确性便是自然给予人类最好的礼物——自助者天助之。

5. 数学历史上重大发展往往都伴随着冒险，过分谨慎与严密反而会阻碍数学的发展。自然，数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动，而不是由那些擅长做出严密证明的人们。… 如果数学家们要等到推理达到这一标准的话，他们只会一事无成。正像皮卡所指出的，如果牛顿和莱布尼茨知道连续函数不一定可微的话，他们就不会创立微积分学了。在过去的日子里，冒险和谨慎共同取得了重大的进步。

6. 数学不是万能的，它研究的是简单化的事物。数学处理的是物理世界中最简单的概念与现象，它的研究对象不是人而是无生命的物质，它们的行为是重复性的，因而可以被数学描述。但在经济学、政治理论、心理学以及生物学领域，数学就无能为力了。… 地球环绕太阳的轨迹是一个椭圆吗?不。只有当把地球和太阳都看作是质点且宇宙中其他天体的影响都忽略不计时才能成立。

7. 数学和物理等科学存在区别，但又紧密联系。下述特征可以区分大部分的数学和物理理论。在科学中，理论曾经有过根本性的变化，而在数学中，大部分逻辑、数论以及经典分析已运转了许多世纪，它们直到现在仍然适用。从这个意义上说，数学不同于其他科学。

以上只是我个人对于这本书的理解与感受，这些收获谈不上多么深刻。不管怎样，这本书至少激发了我对于数学进行系统学习并将其应用的欲望，随着我对于数学理论的深入研学，我想我还会再度拾起这本书，或许到时候会有更深刻的或新的理解。

本文最后就以各章节的概览以及一些语句的摘录收尾吧，供各位读者以及笔者自己参考。

第1章 数学真理的起源
本章介绍了古典希腊和亚历山大里亚时期的希腊的数学起源与发展。他们对后代文明的主要贡献是接受了对推理的最强有力的挑战，知道了自然界有规律可言。

摘录：

数学首先处理点、线和整数等抽象概念。其他概念，如三角形、正方形和圆可以用基本概念来定义，而基本概念正如亚里士多德所说应该是不可定义的，否则就没有起始点。希腊人的精明之处表现在，他们要求被定义的概念要有现实的对应物体，或是通过论证得到或是通过构造得到。…亚里士多德认为，公理是可理解的原理，符合思维而且没有什么可怀疑的。

特别是它(《论浮体》)包含了现在称之为阿基米德原理的定律：浸在水中的物体受到的浮力等于它所排开的水的重量。为什么人们能在肆虐泛滥的世俗洪水中免于沉沦，我们也要归功于阿基米德的解释。

第2章 数学真理的繁荣
本章首先介绍了希腊文明之后的阿拉伯和印度对于数学发展的贡献，之后将重心转向了中世纪的欧洲，依次以哥白尼、开普勒、笛卡尔和伽利略为主要人物，对欧洲中世纪数学进行了介绍。

摘录：

阿拉伯人值得称道之处在于：尽管他们是自己宗教的忠实信徒，但并没有允许宗教的教旨限制他们的数学和科学研究。

文艺复兴时期及后续几个世纪的数学家和科学家都是正统的基督徒，因而接受了以上宗旨，但是天主教学说中绝不会包括自然界的数学设计这样的希腊教条，那么怎样使试图弄清上帝的宇宙和探索自然界的数学法则和谐一致呢？答案就是再添加一条新教义，即上帝依照数学设计了宇宙，这样，以理解上帝的意愿和他的创作作为最高宗旨的天主教教旨就以探求上帝对自然的数学设计的形式出现。

更加惊人的简化成就是由开普勒所取得的，这是科学史上最不可思议的事情。…开普勒的科学推理令人叹为观止，像哥白尼一样，开普勒也是个神秘主义者，他相信上帝在设计世界时，遵循了某个简单而优美的数学方案。…但开普勒也具备我们今天归于学者才有的那种品质，即近乎冷酷的理性化。他丰富的想象产生了新理论体系的概念，但开普勒明白理论必须与观察结果相一致，到了晚年他更清楚地意识到正是经验数据启示了科学的基本原则。…开普勒也拥有谦逊、坚韧和毅力等诸多品性，正是这些品性帮助伟人们去成就他们非凡的事业。…开普勒深信，自然界的设计不仅是基于数学原理，而且还基于和谐原理。…他相信存在关于天体的音乐，其能产生和谐的旋律效果，不是通过耳朵，而是通过将行星运动的事实转译成音符而辨别出来。开普勒遵循这样的思想，即把数学性与音乐性巧妙地结合在一起。他得出，如果$T$是行星的公转周期，而$D$是其与太阳的平均距离，那么$T^2=k{D}^3$，此处$k$对于所有行星都是一个常数。…哥白尼和开普勒都很虔诚，但他们都否认基督教的一条核心教义，即人是宇宙的中心，上帝主要关心的是人。

尽管笛卡尔被誉为数学王冠上的明珠之一，但他首先是一个哲学家，其次是宇宙学家、物理学家，然后是生物学家，最后才是数学家。他的哲学极为重要，因为它主宰了17世纪人们的思想甚至影响到了牛顿和莱布尼茨这样的巨人。…人的心灵可以对基本的、清楚的原理有着立即觉悟的能力——也就是直觉能力——并将其结果进行演绎，这就是笛卡尔认识论的实质。笛卡尔认为思维有两种方法，它们能使我们不必担心陷入谬误而获得知识，这就是：直觉和演绎。

尽管伽利略是个数学教授而且是宫廷数学家，但它的主要贡献是他在科学方法上的许多变革，其中，最著名的就是他废除物理解释的主张——亚里士多德奉为科学的真正目标——而应去寻求数学描述。…正确的科学探索同所谓的寻求最后原因之类的问题要分别开来，而且物理原因的假设应该被放弃。伽利略坚持向自然科学家提议：不要研究为什么会这样，而要讨论怎样定量描述。…伽利略追求描写的决定是关于科学方法论最深刻最有成效的变革。它的重要性，以后会更明显，就在于把科学置于数学的保护之下。…伽利略的另一个原则就是科学的任一分支都可用数学模型模仿出来，两个基本步骤是：数学从公理即不证自明的真理出发，通过推理建立新定理。所以，任一学科分支都应由公理或原理出发进行推理。…少数数学物理学家同意伽利略的观点，即靠推理并不能确保物理原理的正确性。…当然伽利略意识到靠一条不正确的由实验得出的原理，推出的结果也是不正确的。…他的认为物理学原理必须建立在经验及实验基础之上的宗旨却具有革命性的关键意义。…如果科学的基本原理必须来源于实践，数学公理为什么不行呢?..尽管在任何一项重大的变革中，都可以找到一些前人的足迹，但还没有人能够像伽利略那样清楚地通晓知道科学研究的概念及原理，而且没有人像他那样用简单而有效的方式证明了它们的应用。

第3章 科学的数学化
本章讲述了欧洲17至18世纪的数学发展及在科学中的应用。

摘录：

牛顿对代数、几何，尤其是微积分做出了许多贡献，而这些仅仅是为达到其科学目标的辅助工作。事实上，牛顿认为数学是枯燥和乏味的，只是表述自然定律的一种工具。

就天体运动来说，牛顿真正的成就在于他证明了开普勒经过多年观测和研究得出的开普勒三定律可以由万有引力定律和运动三定律用数学方法推导出来。…由于从万有引力定律所推导出来的开普勒定律与观测结果十分吻合，也为万有引力定律的正确性提供了强有力的证据。

正是因为在缺乏物理解释的地方采用了数学描述，牛顿的贡献才如此无与伦比。…我们的目的，是要从现象中寻出这个力的数量和性质，并且把我们在简单情形下发现的东西作为原理，通过数学方法，我们可以估计这些原理在较为复杂情形下的效果…我们说通过数学方法，是为了避免关于这个力的本性或质的一切问题，这个质是我们用任何假设也确定不出来的。

科学所做的就是牺牲物理上的可解释性而得到数学上的可描述性和可预测性。

牛顿对宗教的兴趣是他进行数学和科学研究的真正动力。…从他青年时代开始，牛顿就做过严格的有关宗教方面的研究和解释工作，他的后半生也全部献给了神学。…他重视加强宗教的基础远胜过重视数学和科学成就，因为后者只不过展示了上帝对宇宙的设计而已。

正如欧拉于1741年所言：“数学的用处，通常认为是其基础部分，但数学的用处，不仅不囿于较高深的数学，而且事实上，科学越向纵深发展，数学的作用就越显著。”

数学研究的目的在于获得更多的自然规律，更深刻地了解自然的设计。…牛顿的主要理论，即行星的轨迹是椭圆，只当天空中仅有太阳和一颗行星时才正确。…问题的关键在于三个物体之间相互有引力作用。如果能够设计某种方法以测定第三个物体的干扰作用，那么这种方法也同样适用于第四个物体，并可依此类推下去。然而，即使到了今天，就算是三个物体运动的一般问题也还没有确切的解答。不过，人们已经设计出近似程度越来越好的方法了。

拉普拉斯还有一段更著名的论述：我们可以把目前的宇宙状态看作是宇宙过去的结果和将来的原因。如果一个有理性的人在任何时刻都知道生物界的一切力和所有生物的相互位置，而他的才智又足以分析一切资料，那么他就能用一个方程式来表达宇宙中最庞大的物体和最轻微的原子的运动。对他来说，一切都是显然的，过去与未来都将呈现在他眼前。

第4章 第一场灾难：真理的丧失
本章讲述了19世纪的数学发展遇到的一系列问题，首先是数学失去了“上帝的加持”，其真理性开始引起质疑；其次，非欧几何的出现以及四元数的出现分别引发了对数学中欧氏几何和算术及代数的真理性的怀疑。

摘录：

尽管在牛顿之后，仍然有人认为这种完美的设计出自上帝之手，但上帝已退到幕后。宇宙的数学法则成为焦点。…但是随着数学的进一步发展以及其后的更多的发展，数学研究从神那儿得到的启示越来越少，上帝的存在性也变得模糊起来。…拉格朗日、拉普拉斯虽出身天主教世家，却是无神论者。拉普拉斯完全否认上帝是世界的数学设计者。…高斯确信有一个无时不在、无所不知、无所不能的上帝，但却认为上帝与数学及宇宙的数学规律探索没有丝毫联系。

兰贝特和其他人的工作都强调一个基本点，就是欧几里得的平行公理不能由其他九条欧几里得的公理证明，也就是说，它是独立于其他公理的。进一步地，兰贝特认为可能通过引入一条异于欧几里得平行公理的公理来建立一个逻辑上一致的几何。

关于非欧几何最大的事实是它同样可以像欧氏几何一样，准确地描述物理空间的性质，欧氏空间不是物理空间所必然有的几何。它的物理真实性不能由任何先验基础得证。

显然，数学家们将基于有限的经验显得正确的命题作为公理，并错误地相信了它们是自明的。

数学家们只能得出这个令人沮丧的结论：数学中没有真理，即作为现实世界中普适法则意义上的真理。算术和几何基本结构的公理是受经验启发得出的，因而这些结构的适用性是有限的，它们在哪里是适用的只能由经验来决定。希腊人试图从几条自明的真理出发和仅仅使用演绎的证明方法来保证数学的真实性被证明是徒劳的。…只要数学的命题是涉及实在的，它们就是不可靠的；只要它们是可靠的，它们就不涉及实在。

人类的精神支柱、推理框架以及所有已建立的思想权威都随真理的丧失而失去了，“人类推理的骄傲”随着真理大厦的坍塌而崩溃了。历史的教训是，我们最坚定的信念不是凭主观所做出的论断。事实上它们是最不可信的，它们标示的不是我们的成功而是我们的局限性。

但是这段历史并不会令人失望。伽罗瓦这样评论数学：“这门科学是人的心智的工作，它注定要去探索而不是去知道，去追求真理而不是去找到真理。”也许真理本质上就是难以捉摸的，或者如罗马哲学家塞涅卡所说：“自然界不会一下子披露她所有的秘密”。

第5章 一门逻辑学科不合逻辑的发展
本章所说的逻辑学科是数学中的代数，不合逻辑指的是无理数、负数和复数的概念。代数缺乏逻辑基础，而这主要是因为代数相比于几何非常抽象。

摘录：

反省过去是洞察力最丰富的源泉。

因此，古希腊人留给后人两门截然不同的，发展得不一样的数学分支。一方面是演绎的、系统的，但有缺陷的几何，另一方面则是经验算术及其延展代数。考虑到古希腊人要求由清晰的公理基础推论得到数学结果这样一个事实，而独立的算术和代数却没有它自己的逻辑结构，因此它们的出现成了数学史上一个巨大的反常现象。

正如达朗贝尔所说的那样：“代数是慷慨的，它的给予常常超过你的需求”。(这里指的是二次方程的非实根解，但这在现实中通常没有意义)

18世纪的人们虽然在感觉上对无理数十分明了，对其逻辑却知之甚少。…负数对数学家的困扰，远甚于无理数，大概是因为负数没有现成的几何意义，并且它的运算规则也非常奇怪。

幸运的是，那时候的数学家容易轻信别人，甚至可以说是很天真的，而并没有在逻辑问题上小心翼翼，因为自由创造须领先于形式化和逻辑基础，数学创造中最伟大的时期已经到来。

第6章 不合逻辑的发展：分析的困境
本章的主要对象是微积分等分析学科，它们的逻辑基础也存在缺陷。

摘录：

数学家们以微积分为核心的分析是建立在算术与代数虚构的逻辑基础及欧几里得有争议的基础之上的。微积分是全部数学中最微妙的一门学科。…微积分不仅使用了函数概念，还引入了两个全新的且更为复杂的概念：微分和积分。这样，除了处理数字所需的基础之外，它还需要逻辑方面的基础。

对微积分的创建贡献最大的是牛顿和莱布尼茨。牛顿很少涉及积分的概念，但他广泛使用导数。…既然他的数学研究结果实际上都是正确的，牛顿就没在微积分的逻辑基础上花过多的时间。…莱布尼茨研究微积分的方法有所不同，他给出了“无穷小量”的概念，即不为0但比任何给定的数都要小的数。…莱布尼茨对积分的概念也做了广泛的研究。他独自发现了我们现在所说的微积分基本定理。这个定理表明，可以通过求导数的逆过程求得这个积分和（即原函数）。…牛顿和莱布尼茨的思想不够清晰，而且都受到了人们的批评。

尽管面临众多的反对意见，但是18世纪伟大的数学家们不仅极大地扩展了微积分理论，还从中建立了一些全新的学科：无穷级数、常微分方程、偏微分方程、微分几何、变分法及复变函数，这些被统称为分析的学科，现在是数学的核心部分。

无穷级数引入微积分的本意是用它们代替函数进行运算，比如说求导及求原函数。因为从技术上说，用级数中较简单的项更易于进行这些运算。…在所有这些用法中，最重要的是知道级数是否与函数相等。…牛顿在1669年的一篇文章中写道：任何事情，只要是普通分析(代数学)能够通过有限多项的方程去做的(只要能做的话)，也能通过无限多项的方程(级数)去做，这就是我毫无疑问地把这后一种也称为分析。

在牛顿、莱布尼茨、伯努利家族、欧拉、达朗贝尔、拉格朗日和其他18世纪的数学家们努力研究无穷级数的古怪问题，并把它们用于分析时，他们酿下了各种大错，给出许多错误的证明，因而的出许多错误的结论。他们甚至还给出了一些我们现在看来荒唐可笑的证明…比如无穷级数S=1-1+1-1+1…的值，等等。

第7章 不合逻辑的发展：19世纪的困境
本章主要讲述了19世纪的数学家对于前两章所说的代数和分析的逻辑问题陷入了止步不前的窘境。

摘录：

显然，将一些经验之谈的东西称为原理无助于改善其逻辑状况，正如贝克莱所说的：“根深蒂固的偏见也常常会演变为原理，这些性质一旦获得了原理所具有的力量与声望，不仅它自身，而且由它推出的任何结论，都会无需验证而被人们接受”。

连续性和可微性是分析的基本概念。从1650年至今，分析一直是人们研究的主要对象。而数学家们对这些概念的认识竟然如此模糊不清…一个严重的错误在今天对于一个学数学的大学生来说都是不可原谅的，然而犯错误的人确是当时的伟人——傅里叶、柯西、伽罗瓦、勒让德、高斯，还有一些名声稍逊、但也成就斐然的数学家。

从数学逻辑发展角度来看，连续性原理只不过是为了解决当时人们用纯推理方法不能解决的问题而提出的教条式的特设断言(ad hoc assertion)，而提出这条原理是为了满足直观性和形象性的要求。

就像对一般人来说，借酒消愁并不能真的化解烦恼一样，数学在物理学中取得的成就也不能使某些数学家漠视其逻辑困境。…他们认识到数学并不像过去所认为的那样是推理的典范，而不过是用直觉、几何图形、物理论证和形式常恒原理之类的特设原理，或者求助于形而上学来为已经采信的结果找理由。

第8章 不合逻辑的发展：天堂之门
本章讲述了19世纪末期的数学严密化运动，即通过证明相容性，数学化逻辑等方式
，使得以往在经验或直觉上建立起的绝大多数理论已被逻辑所证实。

摘录：

严谨的思想也可阻碍创造。

一个既能满足所论公理又能满足与其相矛盾的公理的解释本身是不相容的。因此当用一个解释或模式来证明一个公理的独立性时，首先必须知道这一模式是否相容。…欧氏几何平行公理的独立性是由在欧氏几何中建立一种双曲非欧几何模式而确立的。

新建立的严密结构也许保证了数学的正确性，但这一保证几乎毫无必要。…事实上，所有的这些新的公理化结构和严密性所做的无非是证明了数学家们所知道的那些东西确实是那样的。…所有的这些意味着数学并非建立在逻辑之上，而是建立在健全的直觉之上。…仅仅是对直觉承认的东西加以确认，…逻辑是数学家们想要保证思想健康和强壮的卫生手段。

后续的几章涉及大量我不明白的数学内容，所以就简要做些摘录。

第9章 天堂受阻：理性的新危机

本章将看到，自无穷集合论提出后，让人领悟到旧体系中也存在矛盾，随之出现了一系列逻辑悖论，让数学家们意识到逻辑学原理也存在漏洞，数学的基础再次遭遇挑战。

摘录：

“理发师悖论”：一个乡村理发师，宣称他不给村子里任何给自己刮脸的人刮脸，但却给所有不给自己刮脸的人刮脸。当然，理发师自夸无人可与之相比，一天他发生了疑问，他是否应该给自己刮脸？

“异己悖论”：我们称那些能描述自身的词为同己的(autological)，称那些不能描述自身的词为异己的(heterological)。现考虑“异己”这个词自身，若“异己”是异己的，由于它能描述自身，所以应该是同己的；但如果它是同己的，则依同己的定义，它能描述自身，所以它又是异己的，从而矛盾。

“单词悖论”：每个整数都可以通过若干方式用句子描述出来，现考虑那些用不多于100个英文字母进行的所有可能描述，这样至多有$27^{100}$种描述方式，因而势必存在不能用$27^{100}$种描述方式所能描述的最大有限整数。考虑“the smallest number not describable in 100 letters or fewer”这个句子，但这个数在这里却恰恰用少于100个字母就被描述出来了。

如果逻辑原理是人类经验的产物，那么对于它们是否能扩展到没有经验基础的理念结构就是有疑问的。

第10章 逻辑主义和直觉主义

本章介绍了两大派别，逻辑主义和直觉主义，前者致力于通过逻辑推导所有数学，后者通过直觉来寻求数学真理。

摘录：

无论一个人运用抽象的能力有多么强，同时还能在头脑中融入一般的思想，但如果没有书面的或口头的语言作为帮助，他就不可能取得重大的进展。…对于人类来说，语言唯一的目的就是在人类之间相互传递他们的感知。…人类确实需要语言。这是与其他人沟通的需要，同时也是培养和磨练他们自己思想的需要。

第11章 形式主义和集合论公理化基础

继逻辑主义和形式主义之后，又出现了由大卫·希尔伯特引领的形式主义以及由策梅洛创建的集合论公理化两大派系。本章就介绍了两大派系的主要观点以及发展。

摘录：

对待数学的最可靠的方法就是不把它当作实际知识而是当作一种形式上的法则，也就是说，当作一种抽象的、象征性的与含义无关的法则。…希尔伯特决定对所有逻辑和数学的叙述用符号形式来表示。…于是，对于形式主义者来说，数学本身就是一堆形式系统，各自建立逻辑、概念、公理、推导法则，以及定理。把这些演绎系统中的每一块发展起来，就是数学的任务。

集合论可以作为所有数学的基础。…避免矛盾的希望寄托于集合论的公理化，即对所容许的集合类型加以限制，同时又使它们有足够多的性质作为分析的基础。到目前为止还没有人从集合论公理化中得出悖论，策梅洛宣称没有人会得出。…然而，集合论公理化的相容性还是没有得到证明。…尽管如此，策梅洛-弗伦克尔的集合论公理化至今仍被一些数学家当作建立所有数学的理想基础。它是建立分析和几何的最普遍、最基本的原理。

这样，到1930年，四种彼此独立的、截然不同的，并且或多或少有些冲突的关于数学基础的方法都已亮相。…一个人再也不能说一条数学定理是被正确地证实了，因为到1930年，他必须加上一句，即依照谁的标准它被认为是正确的，除了直觉主义者认为的人的直觉能保证相容性外，数学的相容性——这个激发了新方法的重要问题——根本就没有得到解决。

但现在，数学不仅失去了其自诩的真理性，而且在各个关于数学基础的派系及关于正确的推理原则的断言的矛盾冲突中被玷污了。人类理性的自恋受到了严峻的考验。…经验告诉大多数数学家，那些对于上一代数学家来讲稳固的、令人满意的东西意味着是下一代用更可靠的探究方法破旧立新、拨乱反正的好机会…所谓建立在数学基础上的合理的共识，在任何意义上似乎都是不存在的。

第12章 灾难

本章讲述了20世纪数学的灾难——哥德尔不完备定理以及勒文海姆-斯科伦定理，说明了不可判定问题的存在以及公理的可解释性不唯一。至此，旨在消除可能存在的矛盾与建立数学结构相容性的努力宣告失败。

摘录：

哥德尔不完备性定理：如果一个形式理论$T$足以容纳数论并且无矛盾，则$T$必定是不完备的。…哥德尔不完备性定理断言，不仅仅是数学的全部，甚至任何一个系统，都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括。因为任何这样的公理系统都是不完备的。…公理化的能力具有局限性。

20世纪数学的一大特征，即其结果的绝对确定性和有效性已经丧失。更为糟糕的是，由于相容性的不可证明，数学家们正冒着传播谬误的风险，因为不定什么时候就会冒出一个悖论。

在某种程度上，哥德尔不完备性定理是对排中律的否定。…有些命题既不能被证明，也不能被证伪。…然而，证明相容性的可能依然存在，只要人们能够用不同于哥德尔的方法给出一个包含了不可判定命题的系统。

哥德尔不完备性定理引发的附属问题同样应当提及。既然无论多么错综复杂的数学分支都有不可判定的断言存在，那么我们对于某一特定断言能否判定呢？这就是著名的判定问题(decision problem)。它要求一个有效的程序如同计算机一样，能在有限次步骤之内判定一个陈述或一类陈述的可证性。

勒文海姆-斯科伦定理告诉人们，一组公理能够容许比人们预期多得多的解释，而且这些解释具有本质的区别。公理没有限制住解释或是模型。因此，数学的真理性不可能严格地与公理化一致。…非预期的解释之所以可能，原因之一在于每个公理化系统内部都有无定义的概念。先前人们认为这些概念是被公理隐含地加以定义的，可事实上公理并没能做到这一点。…它证实了对于一个给定的公理系统，可以存在完全不同的解释或模型，而这无须加入任何新的公理。当然不完备性是必须的，否则的话，完全不同的解释是不可能的。

排中律不再是毫无疑义的逻辑原理。

在1901年，罗素说道：“现代数学最主要的成就在于发现了什么是真正的数学。”…这几个现代学派试图证明20世纪数学的合理性，可它们能够符合21世纪的数学的要求吗？…因此，对数学基础的修正看上去总是必需的。

第13章 数学的孤立

本章讲述了数学的分化，即纯数学和应用数学，前者放弃了科学，脱离自然，而只关注数学本身，这样的研究显然难以对实际生活有所贡献，而且历史上的数学巨匠绝大多数都是从实际问题入手，从而发展数学理论的。

摘录：

数学是科学的王后，同时是它的女仆。

人的精力和智力有限，因此应当投入把握较大的冒险中。

傅里叶：对自然的深入研究是数学发现最丰富的源泉，这种研究的优点不仅在于有完全明确的目的性，还在于排除含糊不清的问题和无用的计算。

柯朗：为了摆脱这种厄运，我们必须将数学与自然科学联系起来。…数学不过是一个从定义和假设中抽取的结论体系，它必须保证一致性。除此之外，数学家可以随心所欲地加以创造，这样一种断言蕴含着对科学的生命力的一个严重的威胁。假如这一描述准确，则数学不能吸引任何有知识的人。它将是一个没有动机、没有目标的定义规则和推理的游戏。…自由的思维只有在有机整体的约束之下，受到固有的必然性的指引，才能获得具有科学价值的结果。

辛格：正是在对自然界的研究中，才产生了（而且完全可能继续产生）比数学家们闭门造车创造出来的结构复杂得多的问题。

那些声称是作为纯数学而创立的学科后来都被发现实为应用性学科。而且，历史事实证明，它们都是在研究实际的物理问题或直接与物理问题有关的问题中产生的。…数学理论之所以会在科学上有意想不到的应用，是因为它立足于物理基础，而绝非源自那些苦思冥想的天才数学家的预言性的洞察力。这些层出不穷的成功应用绝不是偶然的。

纯数学就好像饭后的茶点，开胃甚至多少能滋养一下身体，但人不能只靠茶点过活，他还需要肉和土豆（现实问题）作为基本营养品。

数学是一个卓越的创造，其卓越之处在于人的思维能力，它能对复杂而看似神秘的自然现象建立起可被理解的模型，从而给人以启示与力量。

第14章 数学向何处去

本章背景下的数学已经丧失了真理性和确定性，它不再是独尊的，而是与其他科学一样，在动态的修正与发展之中。“什么是合理的数学？”便成为了数学家们的疑问。

摘录：

他们(埃及和巴比伦数学家们)用来建造数学大厦的材料，即关于数学和几何图形的事实，取自关于土地测量的一些简单经验。现在我们对于术语“几何”(geometry)，即土地测量的使用就点出了数学的这个起源。

什么叫严密？对此本来就没有严格的定义。…可以肯定，过去人们认为数学的特征——从明确的公理到无可辩驳的证明——如今已不复存在了。

证明的一个主要优点，就是它向我们逐渐灌输对所证明的结果的某种怀疑。…结论可以被矛盾否认，但绝不会被证明。

波普尔(popper)对一个证明有三种不同层次的理解，最低的一层是抓住了论据之后的喜悦之情；其次是再现它的能力；第三层或者说最高的一层是能反驳它。

弃而舍之不是可取的路，任何人只要看到了数学对人类思想的贡献就绝不会牺牲证明的观念。

我们必须承认逻辑也有一定的作用。…直觉把谨慎抛入云霄，而逻辑则教人要节制。

怀尔德：证明是我们对于我们的直觉所提出的思想的检验过程。

不幸的是，一代人给出的证明在下代人眼中总是错误的。…我们现在被迫接受一个这样的事实：没有所谓的绝对证明或者普遍接受的证明。…证明确实起到了一定的作用，它减小了矛盾出现的危险。

我们从证明中的历史中得到的教训就是：即使我们追求的是一个达不到的目标，我们仍能像过去的数学家们一样取得辉煌的成就。那么如果我们改变对待数学的态度，即便我们的幻想破灭了，我们仍会乐于探索这门学科。

直觉在保证数学真实性上起了基础性的作用，而证明起了支撑的作用。

帕斯卡《思想录》：理性所走的最后一步就是承认有无穷多的事物超出了其认识的范围

理性的最高成就是引起了人们对其有效性的怀疑。

波普尔《科学发现的逻辑》：数学推理永远不能被证实，而只能被证伪，数学理论不能以任何方式加以保证。

数学是人为的。就像爱因斯坦所说，“谁把自己当作是真理和知识领域的法官，谁就会在众神的哄堂大笑中毁灭”。

数学是人类为获得精确而有效的思维做出的最广博和最深刻的努力，这一点仍是对的；而且数学所取得的成就是人类思维能力的量度，它代表在所有理性领域我们有望获得成果的上限。但在今天，面对着关于什么是有效的数学这一混乱的局面，我们颇感不安。

笛卡尔：“我们将继续前进，直到我找到某种确定的东西——或者，最起码，知道我能确信没有什么是确定的。”

数学家有这个意志和勇气，他们几乎是本能地去完善和加固其学科的基础，他们的奋斗也许会永不停息，他们也许将永远不会成功。但是现代的“西西弗斯们”将会坚持下去。

第15章 自然的权威

本章是本书的终章，实际上也是我们今天数学应有的姿态——即数学本质上也是科学，数学定理也可能是尝试性的，并无把握绝对可靠，是否与实际相符是检验其合理性的可靠标准。数学尽管存在基础上的潜在漏洞，但其被现今各种瞩目的成就说明其有效性，且数学是科学理论的实质，我们还是能使用数学来指导我们的现实生活。

摘录：

被提出而未证实的“基础”所起的作用相当于在物理理论中解释性假设的功能…在数论和其他任何一个建设得很完善的数学理论中，所谓逻辑或集合论公理化基础都是解释性的，而非基础性的。这些领袖人物都意识到，试图建立一个可普遍接受的、逻辑上合理的数学体系的努力已经失败了。数学是一种人类活动，它受制于人类的各种弱点和过失。

华兹华斯：我们的思想永远只能建立在自然的坚实基础之上。

数学和牛顿力学一样是一门经验科学。当它有效时，就是正确的，若其无效，则需加以修正。尽管2000年来，数学一直被看作是一种先验知识，但实际上并非如此。数学不是绝对的、不可变更的。

电磁波中尤为值得注意的是我们对什么是电磁波并无丝毫的物理知识，只有数学断言它的存在，而且只有数学才使工程师们创造了收音机和电视机的奇迹。

科学是合理化的虚构，而正是数学才使之合理化。

我们绝不可能懂得事件是什么，但我们必须用数学的语言来描述事件的模式。物理上的收获总是一大堆数学公式，物质实体的真正本质永远不为人知。

数学的作用比起其他任何实验科学的贡献来说，更为基本，也更为重要。

上述思想的实质可以这样表述，我们试图从复杂的现象中提炼出某些简单的系统，其性质能用数学来描述，这种抽象化的力量是形成对自己令人惊异的数学描述的原因。

数学理论的简单性也是哥白尼和开普勒所能提出的用以支持其“日心说”，反对旧的托勒密理论的唯一论据。

爱因斯坦：当然，经验始终是检验数学结构的实用性的唯一标准，但是这种创造的原理都存在于数学之中。

理论是近似的、暂时的和“被剥去所有客观注释的”。

尽管数学是一项纯粹的人类创造，但它为我们开辟了通往自然的某些领域的道路，使我们走得比预想更远。实际上，和现实距离如此遥远的抽象概念能获得巨大的成就，这本身就不可思议。…即使我们不易解释人类的理性，但它却有力量。

进行基础研究还有一种潜在的价值，这就是得出矛盾的可能性。相容性并未证实，因此，找到矛盾或者找到明显荒谬的定理至少可以淘汰一些现在耗费数学家时间和精力的备选理论。

数学是人类最杰出的智慧结晶，也是人类精神最富独创性的产物。

就知识的确定性而言，数学是一种理想，我们为这一理想而奋斗，尽管我们也许永远不会达到。确定性也许只不过是我们在不断捕捉的一个幻影，它是如此无止境地难于捉摸。然而，理想具有力量和价值。

或许本书的最后一段文字能很好地概括什么是数学和对待数学的正确态度：凭着有限的感性知识和大脑，人类开始探究其自身的奥秘。通过使用感官瞬间所揭示的东西和可从实验中推知的事物，人类选用了公理并应用他的推理能力。他在寻求秩序，他的目的就是建立与瞬息万变的感觉相对立的知识体系，建立可以帮助他获取有关其生存环境的奥秘的解释模型。而他的主要成就，也是人类自身理性的产物，就是数学。数学并不是完美的佳作，即使不断地完善也未必能去除所有的瑕疵。然而，数学是我们与感性知觉世界之间最有效的纽带。尽管我们不得不尴尬地承认数学的基础并不牢固，但是数学仍是人类思想中最贵重的宝石，我们必须将其妥为保管并节俭使用。数学处于理性的前列，毫无疑问将继续如此，就算是进一步的研究复查又发现新的缺陷。