给定一个 n x n 矩阵，其中每行和每列元素均按升序排序，找到矩阵中第k小的元素。
请注意，它是排序后的第k小元素，而不是第k个元素。
示例:
matrix = [ [ 1, 5, 9], [10, 11, 13], [12, 13, 15] ], k = 8, 返回 13。
说明:
你可以假设 k 的值永远是有效的, 1 ≤ k ≤ n2 。
思路：
这道题的解题思路完全转发该博客的思路：
https://www.cnblogs.com/grandyang/p/5727892.html
这道题让我们求有序矩阵中第K小的元素，这道题的难点在于数组并不是蛇形有序的，意思是当前行的最后一个元素并不一定会小于下一行的首元素，所以我们并不能直接定位第K小的元素，所以只能另辟蹊径。先来看一种利用堆的方法，我们使用一个最大堆，然后遍历数组每一个元素，将其加入堆，根据最大堆的性质，大的元素会排到最前面，然后我们看当前堆中的元素个数是否大于k，大于的话就将首元素去掉，循环结束后我们返回堆中的首元素即为所求:
int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
priority_queue<int> q;
for (int i = 0; i < matrix.size(); ++i) {
for (int j = 0; j < matrix[i].size(); ++j) {
q.emplace(matrix[i][j]);
if (q.size() > k) q.pop();
}
}
return q.top();
}
这题我们也可以用二分查找法来做，我们由于是有序矩阵，那么左上角的数字一定是最小的，而右下角的数字一定是最大的，所以这个是我们搜索的范围，然后我们算出中间数字mid，由于矩阵中不同行之间的元素并不是严格有序的，所以我们要在每一行都查找一下mid，我们使用upper_bound，这个函数是查找第一个大于目标数的元素，如果目标数在比该行的尾元素大，则upper_bound返回该行元素的个数，如果目标数比该行首元素小，则upper_bound返回0, 我们遍历完所有的行可以找出中间数是第几小的数，然后k比较，进行二分查找，left和right最终会相等，并且会变成数组中第k小的数字。举个例子来说吧，比如数组为:
[1 2
12 100]
k = 3
那么刚开始left = 1, right = 100, mid = 50, 遍历完 cnt = 3，此时right更新为50
此时left = 1, right = 50, mid = 25, 遍历完之后 cnt = 3, 此时right更新为25
此时left = 1, right = 25, mid = 13, 遍历完之后 cnt = 3, 此时right更新为13
此时left = 1, right = 13, mid = 7, 遍历完之后 cnt = 2, 此时left更新为8
此时left = 8, right = 13, mid = 10, 遍历完之后 cnt = 2, 此时left更新为11
此时left = 11, right = 12, mid = 11, 遍历完之后 cnt = 2, 此时left更新为12
循环结束，left和right均为12，任意返回一个即可。
本解法的整体时间复杂度为O(nlgn*lgX)，其中X为最大值和最小值的差值，参见代码如下：
int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
int left = matrix[0][0], right = matrix.back().back();
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2, cnt = 0;
for (int i = 0; i < matrix.size(); ++i) {
cnt += upper_bound(matrix[i].begin(), matrix[i].end(), mid) - matrix[i].begin();
}
if (cnt < k) left = mid + 1;
else right = mid;
}
return left;
}
上面的解法还可以进一步优化到O(nlgX)，其中X为最大值和最小值的差值，我们并不用对每一行都做二分搜索法，我们注意到每列也是有序的，我们可以利用这个性质，从数组的左下角开始查找，如果比目标值小，我们就向右移一位，而且我们知道当前列的当前位置的上面所有的数字都小于目标值，那么cnt += i+1，反之则向上移一位，这样我们也能算出cnt的值。其余部分跟上面的方法相同，参见代码如下：
int kthSmallest(vector<vector<int>>& matrix, int k) {
int left = matrix[0][0], right = matrix.back().back();
while (left < right) {
int mid = left + (right - left) / 2;
int cnt = search_less_equal(matrix, mid);
if (cnt < k) left = mid + 1;
else right = mid;
}
return left;
}
int search_less_equal(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
int n = matrix.size(), i = n - 1, j = 0, res = 0;
while (i >= 0 && j < n) {
if (matrix[i][j] <= target) {
res += i + 1;
++j;
} else {
--i;
}
}
return res;
}