常用微分和积分

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微积分

积分和求和符号

积分和求和符号（∑）在数学中都表示累加的概念，但它们用于不同的情境，并具有不同的特性。

1. 积分：

   • 类型：积分用于连续函数，可以是定积分或不定积分。
   • 表示：用积分符号∫表示。
   • 意义：定积分表示函数在一定区间内与坐标轴之间的面积；不定积分表示反导数或原函数。
   • 计算：可以使用各种积分技巧计算，或使用数值方法近似。

2. 求和（∑）：

   • 类型：求和符号用于离散的序列和数列。
   • 表示：用符号∑表示，通常附带求和的界限。
   • 意义：表示一个序列中的元素的总和。
   • 计算：通过将序列中的每个元素相加来计算。

两者之间的联系可以通过以下方式理解：

• 黎曼和：定积分可以通过黎曼和来近似，其中连续函数在一定区间内被划分为小的离散部分，每部分的面积用矩形来近似。随着划分变得越来越精细，黎曼和趋近于定积分的准确值。

• 从离散到连续：当你有一系列离散的数据点并希望理解它们之间的连续行为时，可以使用积分。反之，如果你有一个连续的函数并想要理解它在特定点的行为，你可能会考虑离散的求和。

总的来说，积分和求和符号∑都涉及累加的概念，但积分用于连续情境，而求和用于离散情境。在理解连续与离散数学结构之间的关系方面，两者都是非常重要的工具。

微分思想

微分思想是一种强调局部和渐进分析的数学方法，主要用于理解函数如何随着输入的微小变化而改变。下面是微分思想的一些核心概念：

1. 局部性质：微分关心的是函数在某一点的局部行为。通过研究一个点附近的函数值，我们可以了解该点的一些重要特性，例如切线的斜率。

2. 极限过程：微分的定义涉及到极限。例如，导数定义为自变量的一个极小增量引起的因变量相对应的极小增量的比例。当这个增量趋向于零时，我们得到了导数。

3. 速度和变化率：在物理学中，导数经常用来表示速度或加速度。在更一般的情况下，导数表示了函数的变化率。例如，如果$y=f(x)$，那么$f^{\prime }(x)$表示当$x$改变时$y$是如何快速改变的。

4. 线性近似：微分还与线性近似有关。在许多情况下，了解一个复杂函数在某一点附近的行为可能非常困难。然而，通过使用微分，我们可以找到该点的切线，并用这条直线来近似函数在该点附近的行为。

5. 连续性和可微性：可微性也与函数的连续性有关。如果一个函数在某一点可微，那么它在那一点也是连续的。然而，反之并不总是成立。

相关的核心数学公式：

1. 导数的定义（极限形式）：
   $f^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

2. 幂规则：
   $\frac{d}{dx}(x^n)=n{x}^{n-1}$

3. 乘法规则：
   $\frac{d}{dx}(fg)=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

4. 商法则：
   $\frac{d}{dx}\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$

5. 链式法则：
   $\frac{d}{dx}(f(g(x)))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

6. 泰勒展开（一阶线性近似）：
   $f(x)\approx f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

这些公式为我们提供了一种分析和理解函数如何随着变量的变化而变化的方式，形成了微分学的基础。

乘法法则

乘法规则是微分学中一个重要的导数法则。如果你有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，并且你想找到它们的乘积的导数，那么乘法规则就是这样的：

$\frac{d}{dx}(f(x)\cdot g(x))=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$

换句话说，两个函数的乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，再加上第一个函数乘以第二个函数的导数。

乘法规则使我们能够更容易地找到复合函数的导数，而不必首先将函数展开。这在许多实际应用中，特别是在物理和工程中，都是非常有用的。

乘法法则推导

乘法规则的形式可以通过利用极限和导数的定义来推导。让我们来看一下怎么做：

假设有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，我们想要找到它们乘积的导数。定义 $h(x)=f(x)\cdot g(x)$，我们想要计算 $h^{\prime }(x)$。

我们从导数的定义开始：
$h^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{h(x+h)-h(x)}{h}$

将 $h(x)$ 替换为 $f(x)\cdot g(x)$：
$h^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h}$

然后添加和减去 $f(x+h)\cdot g(x)$：
$h^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x+h)\cdot g(x)+f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{h}$

现在我们可以将表达式拆分为两部分：
$h^{\prime }(x)={\lim }_{h\to 0}\left(\frac{f(x+h)\cdot (g(x+h)-g(x))}{h}+\frac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x)}{h}\right)$

利用极限的性质，我们可以分别求每一部分的极限。第一部分会收敛到 $f(x)\cdot g^{\prime }(x)$，第二部分会收敛到 $f^{\prime }(x)\cdot g(x)$。

因此：
$h^{\prime }(x)=f(x)\cdot g^{\prime }(x)+f^{\prime }(x)\cdot g(x)$

这就是乘法规则的形式。它的推导涉及到了一些微积分和极限的基本性质，给出了两个函数乘积的导数的直观形式。

商法则

商法则是微分学中用于找到两个函数相除所得商的导数的规则。如果你有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，并且你想找到它们的商的导数，那么商法则可以表示为：

$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

前提是 $g(x)\ne 0$。

这个公式告诉我们，商的导数是由分子的导数乘以分母减去分子乘以分母的导数，再除以分母的平方得到的。

商法则在处理复杂函数的导数时非常有用，特别是当你需要找到两个函数相除的情况的导数时。它在许多科学和工程领域中都有应用。

商法则的推导可以通过使用微分的定义和基本性质来完成。考虑两个可微函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，且 $g(x)\ne 0$。我们想要找到商 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 的导数。

1. 定义 $h(x)=f(x)\cdot g(x{)}^{-1}$，则 $h^{\prime }(x)$ 是我们想要找的导数。

2. 利用乘法规则和链式法则，我们有：

   $\begin{array}{rl}{h}^{\prime }(x)& =f^{\prime }(x)\cdot g(x{)}^{-1}+f(x)\cdot (-g(x{)}^{-2})\cdot g^{\prime }(x)\\ & =\frac{f^{\prime }(x)}{g(x)}-\frac{f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}\end{array}$

3. 现在我们可以将两个分数合并到同一个分母下：

   $h^{\prime }(x)=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

这就完成了商法则的推导，给出了两个可微函数的商的导数。

商法则的推导

商法则的推导可以通过使用已知的导数法则，特别是乘法规则和链式法则来完成。假设你有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，你想找到它们的商的导数。

首先，将商表示为乘积的形式：
$\frac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot (g(x){)}^{-1}$

然后，我们可以使用乘法规则来找到这个表达式的导数。乘法规则告诉我们：
$\frac{d}{dx}(u\cdot v)=u^{\prime }\cdot v+u\cdot v^{\prime }$

在我们的情况下，$u=f(x)$ 和 $v=(g(x){)}^{-1}$。我们知道 $u^{\prime }=f^{\prime }(x)$，但是我们需要找到 $v^{\prime }$。

由于 $v=(g(x){)}^{-1}$，我们可以使用链式法则和幂规则来找到 $v^{\prime }$：
$v^{\prime }=\frac{d}{dx}(g(x){)}^{-1}=-1\cdot (g(x){)}^{-2}\cdot g^{\prime }(x)=-\frac{g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

将这些值代入我们的乘法规则表达式中，我们得到：
$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=f^{\prime }(x)\cdot (g(x){)}^{-1}+f(x)\cdot \left(-\frac{g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}\right)=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

这就完成了商法则的推导。

使用链式法则求$v^{\prime }$

我们想要求导的函数是 $v=(g(x){)}^{-1}$，这实际上是复合函数，其中外部函数是 $h(u)=u^{-1}$，内部函数是 $g(x)$。因此，要求 $v^{\prime }$，我们需要使用链式法则。

链式法则的一般形式是：
$\frac{d}{dx}(f(g(x)))=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

在我们的情况下，外部函数的导数是 $h^{\prime }(u)=-u^{-2}$，所以我们有：
$v^{\prime }=\frac{d}{dx}(g(x){)}^{-1}=-1\cdot (g(x){)}^{-2}\cdot g^{\prime }(x)=-\frac{g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$

这就是为什么我们在推导商法则时需要使用链式法则：因为我们实际上是在处理一个复合函数，其中内部函数是分母，外部函数是逆运算。

切线

微分与切线之间的关系是微积分的基础概念之一。以下是这两者之间的主要联系：

1. 切线的斜率：给定函数$f(x)$ 在某一点$x=a$ 的导数，即$f^{\prime }(a)$，这个值实际上就是通过点$(a,f(a))$ 的切线的斜率。

2. 切线方程：你可以使用导数找到切线的方程。如果你知道函数在点$x=a$ 的导数$f^{\prime }(a)$，那么通过点$(a,f(a))$ 的切线方程可以表示为：
   $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$

3. 局部线性近似：切线还可以用作函数在给定点附近的线性近似。换句话说，如果你观察的点$x$ 足够接近$a$，那么切线$y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$ 将非常接近实际函数$y=f(x)$。

4. 导数的几何解释：从几何的角度来看，导数$f^{\prime }(a)$ 描述的是函数图形在$x=a$ 处的切线斜率。正斜率意味着函数在该点上升，负斜率意味着函数在该点下降，零斜率意味着该点是水平的。

总的来说，微分提供了一种量化和理解函数在特定点的局部行为的方法，而切线则提供了这种局部行为的几何表示。这两者之间的关系为我们提供了一种连接微积分与几何直观的桥梁。

但在可微的点，曲线的切线始终是唯一的。

求导是微积分中的基本操作之一，用于找到一个函数在给定点上的切线斜率。下面是一些常用的求导公式：

基本求导公式

1. $c^{\prime }=0$，其中 $c$ 是常数。

2. $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$，其中 $n$ 是实数。

3. $(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$

4. $(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$

5. $(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

6. $(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

7. $(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$

8. $(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$

9. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$，$x>0$

10. $({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$，$x>0$

11. 乘法法则：$(f(x)g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$

12. 除法法则：${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)g(x)-f(x)g^{\prime }(x)}{(g(x){)}^2}$，其中 $g(x)\ne 0$

13. 链式法则：$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

14. 指数函数：$(e^x{)}^{\prime }=e^x$，$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$

15. 反三角函数：

• $({\sin }^{-1}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，其中 $-1<x<1$
• $({\cos }^{-1}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，其中 $-1<x<1$
• $({\tan }^{-1}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$

16. 双曲三角函数：

• $(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x$
• $(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x$
• $(\tanh x{)}^{\prime }={\text{sech}}^{2}x=\frac{1}{{\cosh }^{2}x}$

这些基本的求导公式和法则为更复杂的导数计算提供了基础，包括隐函数、参数方程和更高阶导数等。

复合函数

复合函数的导数通常通过链式法则来计算。链式法则可以处理复合函数的导数，即一个函数内部嵌套另一个函数的情况。形式上，链式法则可以表示为：

$(f(g(x)){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$

这里，$f(x)$ 和 $g(x)$ 是给定的函数。

• 示例

假设你有一个复合函数 $h(x)=\sin (x^2)$，并希望找到其导数。你可以将其视为两个函数的复合：$f(u)=\sin u$ 和 $g(x)=x^2$。这样你可以使用链式法则：

1. 首先找到 $g(x)$ 的导数：$g^{\prime }(x)=2x$。
2. 然后找到 $f(u)$ 的导数：$f^{\prime }(u)=\cos u$。
3. 将 $g(x)$ 代入 $f^{\prime }(u)$：$f^{\prime }(g(x))=\cos (x^2)$。
4. 最后，将这些结果组合起来：$h^{\prime }(x)=\cos (x^2)\cdot 2x$。

链式法则使得复杂复合函数的导数计算变得更加直接和容易。

积分思想

不定积分

不定积分，也称为广义积分或反导数，是一种寻找给定函数的原函数的过程。原函数是导数等于给定函数的函数。不定积分与定积分不同，因为它不涉及特定的区间，而是关注整个函数的性质。

给定一个函数 $f(x)$，其不定积分表示为：
$\int f(x)dx=F(x)+C$
其中，$F(x)$ 是原函数，而 $C$ 是积分常数，表示可能的垂直偏移。

以下是不定积分的一些关键概念：

1. 积分常数：因为导数消除了常数项，所以不定积分的结果包括一个任意的常数 $C$。这意味着不定积分的结果不是唯一的，但所有可能的原函数的图形在垂直方向上平行。

2. 基本积分公式：有许多基本的不定积分公式，例如：
   $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,n\ne -1$

3. 积分技巧：有许多用于计算不定积分的技巧和方法，例如部分分式分解、部分积分、三角代换等。

4. 与定积分的关系：不定积分与定积分之间的联系由微积分的基本定理建立，该定理表明定积分可以通过计算不定积分的两个不同值然后相减来求得。

5. 应用：不定积分在解微分方程、物理、工程和经济学中有许多应用，例如描述物体的运动、流体的流动或资本的增长。

总的来说，不定积分是微积分的核心概念之一，为我们理解和描述连续变化的系统提供了强大的工具。

定积分

定积分是一种计算函数在两个特定点之间的“累积总和”或“净变化”的方法。它在许多领域，包括物理、工程和统计学中有广泛的应用。

给定一个实值函数 $f(x)$，其在区间 $[a,b]$上的定积分定义为：
${\int }_a^{b}f(x)dx$

以下是定积分的一些关键属性和解释：

1. 几何解释：对于非负函数，定积分可以理解为函数图形与 $x$-轴之间的面积。如果函数在区间上的值为负，则相应的“面积”将被视为负值。

2. 物理应用：在物理学中，定积分用于计算各种物理量的总和或平均值，例如计算物体沿路径的总位移或能量的总转移。

3. 基本定理：微积分的基本定理联系了定积分和不定积分（反导数）。它表明在区间 $[a,b]$上的定积分等于在该区间上反导数的差值：
   ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
   其中 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数。

4. 计算方法：计算定积分可能涉及各种技巧和方法，例如代数替换和部分积分。对于不能显式积分的函数，数值方法（例如辛普森法或梯形法）可以用来近似定积分的值。

定积分是数学、科学和工程中的一个强大工具，因为它提供了一种量化连续变化过程的方法，并允许我们在实际问题中应用微积分的理论。

举例

从不定积分到定积分的过渡是微积分基本定理的核心，这一理论将不定积分和定积分紧密联系在一起。

1. 不定积分：不定积分的目的是找到给定函数 $f(x)$的原函数（反导数），表示为：
   $\int f(x)dx=F(x)+C$
   这里 $F(x)$是原函数，$C$是积分常数。

2. 定积分：定积分是计算函数 $f(x)$在区间 $[a,b]$ 上与坐标轴所围成的面积。表示为：
   ${\int }_a^{b}f(x)dx$

从不定积分到定积分的联系：

• 微积分的基本定理：微积分的基本定理是联系不定积分和定积分的桥梁。它表明，要计算定积分，可以找到函数的原函数，然后评估该原函数在积分区间的端点：
  ${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
  这里 $F(x)$是 $f(x)$的一个原函数。

这一理论的重要性在于它为计算复杂的定积分提供了一种方法。一些定积分可能直接难以求解，但通过找到相应的不定积分（原函数），可以轻松计算。

例如，要计算
${\int }_0^1{x}^{2}dx$
可以首先找到不定积分
$\int x^{2}dx=\frac{x^3}{3}+C$
然后使用上述公式：
${\int }_0^1{x}^{2}dx=\left(\frac{1^3}{3}\right)-\left(\frac{0^3}{3}\right)=\frac{1}{3}$

从不定积分到定积分的理解不仅揭示了微积分的内在结构，还在实际计算和应用中具有极大的价值。

积分是微积分的基本概念之一，用于求解许多数学和物理问题。积分分为不定积分和定积分两种类型，这里我们来看一下如何计算它们，以及一些常用的形式。

常见的形式

不定积分

不定积分是求解给定函数的原函数。以下是一些基本的不定积分形式：

1. 幂函数：
   $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,n\ne -1$

2. 指数函数：
   $\int e^{x}dx=e^x+C$

3. 三角函数：
   $\int \sin xdx=-\cos x+C$
   $\int \cos xdx=\sin x+C$

4. 对数函数：
   $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$

5. $\int cdx=cx+C$，其中 $c$ 是常数。

6. $\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$，其中 $n\ne -1$。

7. $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$，其中 $x\ne 0$。

8. $\int e^{x}dx=e^x+C$。

9. $\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C$，其中 $a>0$ 且 $a\ne 1$。

10. $\int \sin xdx=-\cos x+C$。

11. $\int \cos xdx=\sin x+C$。

12. $\int \tan xdx=\ln |\sec x|+C$。

13. $\int {\sec }^{2}xdx=\tan x+C$。

14. $\int \sec x\tan xdx=\sec x+C$。

15. $\int \csc x\cot xdx=-\csc x+C$。

定积分

• ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$
• ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$
• ${\int }_a^b(f(x)\pm g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx\pm {\int }_a^{b}g(x)dx$
• ${\int }_a^{b}c\cdot f(x)dx=c{\int }_a^{b}f(x)dx$，其中 $c$ 是常数。

三角替换

三角替换是积分计算中的一种方法，特别是当被积函数包含根式或具有复杂形式的分式时。这种替换可以将这些复杂的表达式转化为三角函数的形式，从而使积分变得更加容易计算。以下是三种常见的三角替换：

1. $x=\sin \theta$ 替换

当被积函数中有类似 $\sqrt{1-x^2}$ 形式时，可以考虑使用该替换。通过此替换，我们得到 $dx=\cos \theta d\theta$，并且 $\sqrt{1-x^2}=\cos \theta$。

2. $x=\tan \theta$ 替换

当被积函数中有类似 $\sqrt{1+x^2}$ 形式时，可以考虑使用该替换。通过此替换，我们得到 $dx={\sec }^2\theta d\theta$，并且 $\sqrt{1+x^2}=\sec \theta$。

3. $x=\sec \theta$ 替换

当被积函数中有类似 $\sqrt{x^2-1}$ 形式时，可以考虑使用该替换。通过此替换，我们得到 $dx=\sec \theta \tan \theta d\theta$，并且 $\sqrt{x^2-1}=\tan \theta$。

示例

考虑定积分：
${\int }_0^1\sqrt{1-x^2}dx$

我们可以使用 $x=\sin \theta$ 替换，那么：
$dx=\cos \theta d\theta$
$\sqrt{1-x^2}=\cos \theta$

将上下限也转换为 $\theta$ 的形式，得到：
${\int }_0^{\pi /2}{\cos }^2\theta d\theta$

这个积分可以通过一些基本的三角恒等式进一步求解。

积分换元法

积分换元法（Integration by Substitution）是定积分和不定积分中的一种重要技巧，它可以用来化简许多复杂的积分问题。这种方法本质上是链式法则的逆运算，并且与微分中的u-替换法则非常相似。

以下是积分换元法的基本步骤和一个示例，以帮助理解这个重要的技巧：

基本步骤

1. 选择替换函数： 选择适当的函数 $u=g(x)$，使得被积表达式的一部分可化为u的函数。
2. 计算微分： 找到 $\frac{du}{dx}$ 并解出 $dx$，得到 $dx=\frac{du}{g^{\prime }(x)}$。
3. 替换变量： 将原积分中的x和dx用u和du表示。
4. （定积分）更改积分界限： 如果进行的是定积分，则还需要将积分的上下限从x的函数更改为u的函数。
5. 计算新积分： 计算新的u变量下的积分。
6. 逆替换： 将答案用原始的x变量表示（如果需要）。

示例

考虑定积分：
${\int }_0^{1}2x\sqrt{1-x^2}dx$

我们可以选择 $u=1-x^2$，那么：
$\frac{du}{dx}=-2x$
$dx=\frac{du}{-2x}$

积分界限将变为 $u(0)=1$ 和 $u(1)=0$，因此积分变为：
${\int }_1^0\sqrt{u}du=-\frac{2}{3}$

常函数法则

常函数法则在积分学中是一个基本概念，适用于不定积分和定积分。这些法则简化了常数函数的积分计算过程。下面是常函数法则的一些主要内容：

不定积分

对于任何常数 $c$，不定积分的计算如下：

1. 常数的积分： $\int cdx=cx+C$，其中 $C$ 是积分常数。

定积分

对于任何常数 $c$，在区间 $[a,b]$ 上的定积分计算如下：

1. 常数的积分： ${\int }_a^{b}cdx=c(b-a)$。

这里，$c$ 是一个定值，不依赖于积分变量 $x$。

• 说明

常函数法则非常简单，因为常数的导数是零，所以积分常数函数就是将常数乘以变量。在解决更复杂的积分问题时，这些基本法则通常与其他积分技巧和法则结合使用。

对于定积分，常数函数在区间上的积分就是常数乘以区间的长度。这个性质在计算面积或体积时特别有用，因为常数函数在几何上可以表示为一个平行于x轴的直线。其定积分就是这条线与x轴所围成的矩形的面积。

数乘法则

不定积分

对于任何常数 $c$，不定积分的数乘法则如下：

$\int c\cdot f(x)dx=c\int f(x)dx$

这一法则说明，你可以先积分函数 $f(x)$，然后再乘以常数 $c$。

定积分

对于任何常数 $c$，在区间 $[a,b]$ 上的定积分数乘法则如下：

${\int }_a^{b}c\cdot f(x)dx=c{\int }_a^{b}f(x)dx$

同样，这意味着你可以先计算函数 $f(x)$ 在给定区间上的定积分，然后再乘以常数 $c$。

示例

假设你想计算 $\int 3x^{2}dx$。使用数乘法则，你可以将常数 3 提出来：

$\int 3x^{2}dx=3\int x^{2}dx=3\left[\frac{x^3}{3}\right]+C=x^3+C$

其中 $C$ 是积分常数。

数乘法则是求积分过程中的一个基本工具，使你能更容易地处理与常数相乘的函数。在处理更复杂的积分问题时，它通常与其他积分技巧和法则结合使用。

加减法则

加减法则是积分中的一项基本性质，可以使我们将积分中的加法或减法分解为两个或多个单独的积分。这一法则适用于不定积分和定积分。

不定积分

对于两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，不定积分的加减法则可以表示为：

1. 加法： $\int (f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$。
2. 减法： $\int (f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$。

定积分

对于在区间 $[a,b]$ 上定义的两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，定积分的加减法则可以表示为：

1. 加法： ${\int }_a^b(f(x)+g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$。
2. 减法： ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx-{\int }_a^{b}g(x)dx$。

示例

假设你想计算定积分 ${\int }_0^2(x^2+2x)dx$。使用加法法则，你可以将其分解为两个单独的积分：

${\int }_0^2(x^2+2x)dx={\int }_0^2{x}^{2}dx+{\int }_0^{2}2xdx={\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^2+{\left[x^2\right]}_0^2=\frac{8}{3}+4=\frac{20}{3}$

加减法则使我们能够将复合表达式的积分分解为更容易处理的部分。这一法则在求积分时经常使用，特别是在处理包括多个项的函数时。

积分区间对应法则

定积分

积分区间对应法则与定积分有关，它描述了如何改变积分区间的一些基本性质。

1. 区间分割法则： 如果 $c$ 在区间 $[a,b]$ 内，则
   ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$

2. 区间反转法则： 反转积分的上下限会改变积分的符号：
   ${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$

3. 空区间法则： 如果积分的上下限相同，则积分结果为零：
   ${\int }_a^{a}f(x)dx=0$

4. 多个区间组合法则： 可以组合多个区间进行积分，例如：
   ${\int }_a^{d}f(x)dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_b^{c}f(x)dx+{\int }_c^{d}f(x)dx$

这些区间对应法则为我们提供了在不同区间上积分的灵活性，并可以用来更轻松地计算复杂的定积分。通过合理选择分割点，我们甚至可以将不易积分的表达式分解为更容易处理的部分。

定积分替换法则

定积分替换法则，通常称为u-替换，是一种常用于求定积分的方法，特别是当被积函数的形式复杂时。该法则本质上是微积分中链式法则的逆运算。

以下是定积分u-替换法则的步骤和说明：

• 步骤

1. 选择合适的替换： 选择u作为x的一个函数，即令 $u=g(x)$。此替换应简化被积函数的形式。
2. 计算微分du： 求导u相对于x，即求 $\frac{du}{dx}=g^{\prime }(x)$，然后求得 $du=g^{\prime }(x)dx$。
3. 更改积分界限： 由于替换改变了变量，所以积分上下限也必须相应地更改。如果原来的积分界限是 $[a,b]$，新的界限将是 $[g(a),g(b)]$。
4. 进行替换： 用u和du替换原积分中的x和dx，然后计算新的积分。
5. 逆替换（如果需要）： 如果最终需要结果为x的函数，可以用原始的x替换u。

• 示例

考虑定积分：
${\int }_0^{2}3x(1+x^2{)}^{2}dx$

我们可以令 $u=1+x^2$，则
$\frac{du}{dx}=2x$
$du=2xdx$
$xdx=\frac{du}{2}$

界限变为 $u(0)=1$ 和 $u(2)=5$，因此积分变为：
${\int }_1^{5}3u^2\cdot \frac{du}{2}=\frac{3}{2}{\int }_1^5{u}^{2}du=\frac{3}{2}{\left[\frac{u^3}{3}\right]}_1^5=\frac{124}{2}$

u-替换是定积分计算中的一种强大工具，能够处理许多其他方法难以处理的积分。掌握此法则是解决许多实际问题的关键。

对称性法则是一组有助于简化定积分计算的准则。这些法则特别适用于在对称区间上积分的情况。以下是两个主要的对称性法则：

偶函数对称性

定义： 如果一个函数$f(x)$满足$f(x)=f(-x)$，那么它就是偶函数。偶函数在y轴两侧对称。

偶函数定积分法则： 对于一个偶函数$f(x)$，在对称区间$[-a,a]$上的积分可以简化为：
${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=2{\int }_0^{a}f(x)dx$

奇函数对称性

定义： 如果一个函数$f(x)$满足$f(-x)=-f(x)$，那么它就是奇函数。奇函数关于原点对称。

奇函数定积分法则： 对于一个奇函数$f(x)$，在对称区间$[-a,a]$上的积分为0：
${\int }_{-a}^{a}f(x)dx=0$

• 示例偶函数

考虑函数$f(x)=x^2$，这是一个偶函数。计算在区间$[-2,2]$上的积分，我们可以使用偶函数对称性法则：

${\int }_{-2}^2{x}^{2}dx=2{\int }_0^2{x}^{2}dx=\frac{8}{3}$

• 示例奇函数

考虑函数$f(x)=x$，这是一个奇函数。计算在区间$[-2,2]$上的积分，我们可以使用奇函数对称性法则：

${\int }_{-2}^{2}xdx=0$

• 小结

当你遇到在对称区间上的定积分时，识别被积函数的奇偶性可以显著简化计算。偶函数的积分可以转化为在半区间上的积分，而奇函数在对称区间上的积分总是0。

极限