作者：禅与计算机程序设计艺术
1.简介
推荐系统（recommender system）是一个基于用户给予过去数据的行为信息、当前兴趣偏好等建模的计算模型，通过分析用户行为数据和商品特征、产品价格等数据之间的关联关系来对用户进行个性化的推荐。
在传统的基于内容的推荐方法中，主要将用户查询（query）与已知数据库中的商品特征进行匹配，并根据相关性得分对推荐结果进行排序；而在协同过滤（collaborative filtering）的方法中，则将用户和商品之间的互动数据进行分析，结合推荐引擎的历史交互数据进行推荐。
但这些推荐系统往往存在一些缺陷，如无法准确描述用户的真实感受和喜好，存在冷启动、长尾效应、稀疏数据等问题。因此，随着互联网行业的蓬勃发展，多种多样的推荐系统诞生了。其中最流行的就是矩阵分解方法。
2.基本概念术语说明
2.1 矩阵分解
矩阵分解又称作奇异值分解(singular value decomposition)，是一种正定奇异值分解。它可以将一个mn维的数据矩阵A分解成几个低秩的分量矩阵PQ和一个mn的矩阵R，使得矩阵A可以近似表示为PQR或者Q^TR^T。当矩阵A满足某些条件时，可以通过判断矩阵A的类型来选择不同的分解方式，比如有些矩阵A很容易被分解为两个矩阵的乘积，有些矩阵A很难被分解，不适用于奇异值分解等。
一般来说，矩阵A可以分解成三个矩阵：一个mr维的矩阵P，一个rn维的矩阵Q，以及一个r*n维的矩阵R，其满足如下关系：A = P * Q *