导语：本系列文章一共有三篇，分别是
《原理篇 | 推荐系统之矩阵分解模型》
《实践篇 | 推荐系统之矩阵分解模型》
第一篇用一个具体的例子介绍了MF是如何做推荐的。第二篇讲的是MF的数学原理，包括MF模型的目标函数和求解公式的推导等。第三篇回归现实，讲述MF算法在图文推荐中的应用实践（将于后续发布）。下文是第二篇——《原理篇 | 推荐系统之矩阵分解模型》，敬请阅读。
上一篇我们用一个简单的例子讲述了矩阵分解(Matrix Factorization, MF)是如何做推荐的，但没有深入到算法的细节。如果想编写自己的代码实现MF，那么就需要了解其中的细节了。本文是MF系列的第二篇文章，主要介绍了显式矩阵分解和隐式矩阵分解的数学原理，包括模型思想、目标函数、优化求解的公式推导等，旨在为需要了解算法细节的同学提供参考。
MF用到的用户行为数据分为显式数据和隐式数据两种。显式数据是指用户对item的显式打分，比如用户对电影、商品的评分，通常有5分制和10分制。隐式数据是指用户对item的浏览、点击、购买、收藏、点赞、评论、分享等数据，其特点是用户没有显式地给item打分，用户对item的感兴趣程度都体现在他对item的浏览、点击、购买、收藏、点赞、评论、分享等行为的强度上。
显式数据的优点是行为的置信度高，因为是用户明确给出的打分，所以真实反映了用户对item的喜欢程度。缺点是这种数据的量太小，因为绝大部分用户都不会去给item评分，这就导致数据非常稀疏，同时这部分评分也仅代表了小部分用户的兴趣，可能会导致数据有偏。隐式数据的优点是容易获取，数据量很大。因为几乎所有用户都会有浏览、点击等行为，所以数据量大，几乎覆盖所有用户，不会导致数据有偏。其缺点是置信度不如显式数据的高，比如浏览不一定代表感兴趣，还要看强度，经常浏览同一类东西才能以较高置信度认为用户感兴趣。
根据所使用的数据是显式数据还是隐式数据，矩阵分解算法又分为两种[4,6]。使用显式数据的矩阵分解算法称为显式矩阵分解算法，使用隐式数据的矩阵分解算法称为隐式矩阵分解算法。由于矩阵分解算法有众多的改进版本和各种变体[4,5,6,7,8,9,10,11]，本文不打算一一列举，因此下文将以实践中用得最多的矩阵分解算法为例，介绍其具体的数据原理，这也是spark机器学习库mllib中实现的矩阵分解算法[4,6]。从实际应用的效果来看，隐式矩阵分解的效果一般会更好。
在本系列第一篇文章中，我们提到，矩阵分解算法的输入是user对item的评分矩阵(图1等号左边的矩阵)，输出是User矩阵和Item矩阵(图1等号右边的矩阵)，其中User矩阵的每一行代表一个用户向量，Item矩阵的每一列代表一个item的向量。User对item的预测评分用它们的向量内积来表示，通过最小化预测评分和实际评分的差异来学习User矩阵和Item矩阵。
图1
2.1 目标函数
为了用数学的语言定量表示上述思想，我们先引入一些符号。设rui 表示用户u 对item i 的显式评分，当rui >0时，表示用户u 对item i 有评分，当rui =0时，表示用户u 对item i 没有评分，xu 表示用户u 的向量，yi 表示item i 的向量，则显式矩阵分解的目标函数为：
其中xu 和yi 都是k 维的列向量，k 为隐变量的个数，
是所有xu 构成的矩阵，
为所有yi 构成的矩阵，N 为用户数，M 为item数，λ为正则化参数。
在上述公式中，
为用户向量与物品向量的内积，表示用户u 对物品i 的预测评分，目标函数通过最小化预测评分和实际评分rui 之间的残差平方和，来学习所有用户向量和物品向量。这里的残差项只包含了有评分的数据，不包括没有评分的数据。目标函数中第二项是L2正则项，用于保证数值计算稳定性和防止过拟合。
2.2 求解方法：
求解X 和Y 采用的是交替最小二乘法(alternative least square, ALS)，也就是先固定X 优化Y ，然后固定Y 优化X ，这个过程不断重复，直到X 和Y 收敛为止。每次固定其中一个优化另一个都需要解一个最小二乘问题，所以这个算法叫做交替最小二乘方法。
(1)Y 固定为上一步迭代值或初始化值，优化X ：
此时，Y 被当做常数处理，目标函数被分解为多个独立的子目标函数，每个子目标函数对应一个用户。对于用户u ，目标函数为：
这里面残差项求和的个数等于用于u 评过分的物品的个数，记为m 个。把这个目标函数化为矩阵形式，得
其中，
表示用户u 对这m 个物品的评分构成的向量，
表示这m 个物品的向量构成的矩阵，顺序跟Ru 中物品的顺序一致。
对目标函数J关于xu 求梯度，并令梯度为零，得：
解这个线性方程组，可得到xu 的解析解为：
(2) X 固定为上一步迭代值或初始化值，优化Y：
此时，X 被当做常数处理，目标函数也被分解为多个独立的子目标函数，每个子目标函数对应一个物品。类似上面的推导，我们可以得到yi 的解析解为：
其中，
表示n 个用户对物品i 的评分构成的向量，
表示这n 个用户的向量构成的矩阵，顺序跟Ri 中用户的顺序一致。
2.3 工程实现
当固定Y 时，各个xu 的计算是独立的，因此可以对xu 进行分布式并行计算。同理，当固定X 时，各个yi 的计算也是独立的，因此也可以对yi 做分布式并行计算。因为Xi 和Yu 中只包含了有评分的用户或物品，而非全部用户或物品，因此xu 和yi 的计算时间复杂度为O(k2nu+k3)其中nu 是有评分的用户数或物品数，k 为隐变量个数。
隐式矩阵分解与显式矩阵分解的一个比较大的区别，就是它会去拟合评分矩阵中的零，即没有评分的地方也要拟合。
3.1 目标函数
我们仍然用rui 表示用户u 对物品i 的评分，但这里的评分表示的是行为的强度，比如浏览次数、阅读时长、播放完整度等。当rui >0时，表示用户u 对物品i有过行为，当rui =0时，表示用户u 对物品i没有过行为。首先，我们定义一个二值变量pui 如下：
这个pui 是一个依赖于rui 的量，用于表示用户u 对物品i 是否感兴趣，也称为用户偏好。当用户u 对物品i 有过行为时，我们认为用户u 对物品i感兴趣，此时pui =1；当用户u 对物品i 没有过行为时，我们认为用户u 对物品i 不感兴趣，此时pui =0。
模型除了要刻画用户对物品是否感兴趣外，而且还要刻画感兴趣或不感兴趣的程度，所以这里的隐式矩阵分解还引入了置信度的概念。从直观上来说，当rui >0时，rui 越大，我们越确信用户u 喜欢物品i ，而当rui =0时，我们不能确定用户u 是否喜欢物品i ，没有行为可能只是因为用户u 并不知道物品i 的存在。
因此，置信度是rui 的函数，并且当rui >0时，置信度是rui 的增函数；当rui =0时，置信度取值要小。论文中给出的置信度cui 的表达式为：
当rui >0时，cui 关于rui 线性递增，表示对于有评分的物品，行为强度越大，我们越相信用户u 对物品i 感兴趣；当rui =0时，置信度恒等于1，表示对所有没有评分的物品，用户不感兴趣的置信度都一样，并且比有评分物品的置信度低。用xu 表示用户u 的向量，yi 表示item i 的向量，引入置信度以后，隐式矩阵分解[6]的目标函数为：
其中xu 和yi 都是k 维的列向量，k 为隐变量的个数，
是所有xu 构成的矩阵，
为所有yi 构成的矩阵，N 为用户数，M 为item数，λ为正则化参数。目标函数里的内积用于表示用户对物品的预测偏好，拟合实际偏好pui，拟合强度由cui 控制。并且对于pui =0的项也要拟合。目标函数中的第二项是正则项，用于保证数值计算稳定性以及防止过拟合。
3.2 求解方法
目标函数的求解仍然可以采用交替最小二乘法。具体如下：
(1)Y 固定为上一步迭代值或初始化值，优化X ：
此时，Y 被当做常数处理，目标函数被分解为多个独立的子目标函数，每个子目标函数都是某个xu 的函数。对于用户u ，目标函数为：
把这个目标函数化为矩阵形式，得
其中，
为用户u 对每个物品的偏好构成的列向量，
表示所有物品向量构成的矩阵，Λu 为用户u 对所有物品的置信度cui 构成的对角阵，即：
对目标函数J 关于xu 求梯度，并令梯度为零，得：
解这个线性方程组，可得到xu 的解析解为：
(2) X 固定为上一步迭代值或初始化值，优化Y：
此时，X 被当做常数处理，目标函数也被分解为多个独立的子目标函数，每个子目标函数都是关于某个yi 的函数。通过同样的推导方法，可以得到yi 的解析解为：
其中，
为所有用户对物品i 的偏好构成的向量，
表示所有用户的向量构成的矩阵，Λi 为所有用户对物品i 的偏好的置信度构成的对角矩阵，即
3.3 工程实现
由于固定Y 时，各个xu 的求解都是独立的，所以在固定Y 时可以并行计算各个xu，同理，在固定X时可以并行计算各个yi 。
在计算xu 和yi 时，如果直接用上述解析解的表达式来计算，复杂度将会很高。以xu 的表达式来说，Y Λu YT 这一项就涉及到所有物品的向量，少则几十万，大则上千万，而且每个用户的都不一样，每个用户都算一遍时间上不可行。所以，这里要先对xu 的表达式化简，降低复杂度。
注意到Λi 的特殊性，它是由置信度构成的对角阵，对于一个用户来说，由于大部分物品都没有评分，以此Λi 对角线中大部分元素都是1，利用这个特点，我们可以把Λi 拆成两部分的和，即
其中I为单位阵，Λu - I 为对角阵，并且对角线上大部分元素为0，于是，可以重写为如下形式：
分解成这两项之后，第一项Y YT 对每个用户都是一样的，只需要计算一次，存起来，后面可以重复利用，对于第二项，由于Λu - I 为对角线大部分是0的对角阵，所以计算Y (Λu - I )YT 的复杂度是O(k2nu)。其中nu 是
Λu - I 中非零元的个数，也就是用户u 评过分的物品数，通常不会很多，所以整个Y ΛuYT的计算复杂度由O(k2M) 降为O(k2nu)。由于M>>nu，所以计算速度大大加快。对于xu 表达式的Y Λu Pu
这一项，则应Y ( Λu Pu) 这样计算，利用Pu 中大部分元素是0的特点，将计算复杂度由O(kM ) 降低到O(knu)。通过使用上述数学技巧，整个xu的计算复杂度可以降低到O(k2nu+k3)，其中nu是有评分的用户数或物品数，k 为隐变量个数，完全满足在线计算的需求。
无论是显式矩阵分解，还是隐式矩阵分解，我们在模型训练完以后，就会得到训练集里每个用户的向量和每个物品的向量。假设现在有一个用户，在训练集里没出现过，但是我们有他的历史行为数据，那这个用户的向量该怎么计算呢？当然，最简单的方法就是把这个用户的行为数据合并到旧的训练集里，重新做一次矩阵分解，进而得到这个用户的向量，但是这样做计算代价太大了，在时间上不可行。
为了解决训练数据集以外的用户(我们称之为新用户)的推荐问题，我们就需要用到增量矩阵分解算法。增量矩阵分解算法能根据用户历史行为数据，在不重算所有用户向量的前提下，快速计算出新用户向量。
在交替最小二乘法里，当固定Y 计算xu 时，我们只需要用到用户u 的历史行为数据rui 以及Y 的当前值，不同用户之间xu的计算是相互独立的。这就启发我们，对于训练集以外的用户，我们同样可以用他的历史行为数据以及训练集上收敛时学到的Y，来计算新用户的用户向量。下面的图2表示了这一过程。
增量矩阵分解
设用户历史行为数据为Pu={ Pui }，训练集上学到的物品矩阵为Y，要求解的用户向量为xu，则增量矩阵分解算法求解的目标为：
这个目标函数跟第3节中固定Y 时求解xu 的目标函数是一样的，但有两个不同点：
(1)这里的Y 是不需要迭代的，它是MF在训练集上收敛时得到的Y；
(2)用户的历史行为数据Pu 要过滤掉在Y中没出现过的物品。由于Y 是固定的，我们不需要迭代，直接通过xu 的解析表达式求解xu，即：
式中的所有符号和上一节相同。
事实上，增量矩阵分解的目标函数中的Y 也不一定要是MF在训练集上学出来的，只要Y 中的每个向量都能表示对应物品的特征就行，也就是说，Y 可以是由其他数据和其他算法事先学出来的。矩阵分解的增量算法在图文推荐系统中有着广泛应用，具体的应用将在下一篇文章中介绍。
好的推荐算法不仅要推得准确，而且还要有良好的可解释性，也就是根据什么给用户推荐了这个物品。传统的ItemCF算法就有很好的可解释性，因为在ItemCF中，用户u 对物品i 的预测评分R (u, i ) 的计算公式为
其中N(u ) 表示用户u 有过行为的物品集合，ruj 表示用户u 对物品j 的历史评分，sji 表示物品j 和物品i 的相似度。在这个公式中，N(u ) 中的物品j 对R(u, i ) 的贡献为ruj sji，因此可以很好地解释物品i 具体是由N(u) 中哪个物品推荐而来。那对于矩阵分解算法来说，是否也能给出类似的可解释性呢？答案是肯定的。
以隐式矩阵分解为例，我们已经推导出，已知物品的矩阵Y 时，用户u 的向量的计算表达式为：
假设物品i 的向量为yi，那么用户u 对物品i 的预测评分为：
令
并把Y Λu Pu 展开来写，则
的表达式可以写成
其中，
可以看成是物品j 和物品i 之间的相似度，
可以看成是用户u 对用户j的评分，这样就能像ItemCF那样去解释N(u )中每一项对推荐物品i 的贡献了。从sji 的计算表达式中，我们还可以看到，物品j 和物品i 之间的相似度sji 是跟用户u 有关系的，也就是说，即使是相同的两个物品，在不同用户看来，它们的相似度是不一样的，这跟ItemCF的固定相似度有着本质上的区别，MF的相似度看起来更合理一些。
6.小结
(1)根据用户行为数据的特点，矩阵分解又分为显式矩阵分解和隐式矩阵分解两种；
(2)在显式MF算法中，用户向量和物品向量的内积拟合的是用户对物品的实际评分，并且只拟合有评分的项；
(3)在隐式MF算法中，用户向量和物品向量的内积拟合的是用户对物品的偏好(0或1)，拟合的强度由置信度控制，置信度又由行为的强度决定；
(4)在隐式MF中，需要使用一些数学技巧降低计算复杂度，才能满足线上实时计算的性能要求；
(5)对于有行为数据，但不在训练集里的用户，可以使用增量MF算法计算出他的用户向量，进而为他做推荐；
(6)MF算法也能像ItemCF一样，能给出推荐的理由，具有良好的可解释性。
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