2-SAT学习记录，学习动力源于之前学完强连通去做教练挂的联通图的题目，第一题看了半天不会做，最后发现是2-SAT算法= = ，不会，遂学习之。
关于2-SAT算法有一篇很好的学习博客 2-SAT研究笔记
2-SAT算法感觉是一个很经典的算法，上面的笔记更是对算法的每一部分进行了推导和证明。其实看懂的话应该难度不是态度，需要前置技能 强连通分量 拓扑排序，剩下的就是一种思想，在此贴一下经典的2-SAT模型，转载自以上的2-SAT学习笔记。
模型一：两者（A，B）不能同时取
那么选择了A就只能选择B’，选择了B就只能选择A’
连边A→B’，B→A’
模型二：两者（A，B）不能同时不取
那么选择了A’就只能选择B，选择了B’就只能选择A
连边A’→B，B’→A
模型三：两者（A，B）要么都取，要么都不取
那么选择了A，就只能选择B，选择了B就只能选择A，选择了A’就只能选择B’，选择了B’就只能选择A’
连边A→B，B→A，A’→B’，B’→A’
模型四：两者（A，A’）必取A
那么，那么，该怎么说呢？先说连边吧。
连边A’→A
你想出来为什么了吗？也许你在想，哇塞，这样就保证了在反图中A在拓扑序中靠前，然后就会先选择A，呵呵，你错了。
虽然，我在一些人的博客中见到了这样的解释，但是，我还是非常负责任的告诉你，这是不全面的。
我们从A’向A连边，要的不仅是拓扑序，还有判可行与否。在2-sat图当中，若该图是可行的，就意味着如果从A到A’有路径的话，A’到A是没有路径的，因为如果有路径，它们就成一个块了，不会被判为可行，那么，如果A到A’是有路径的话，在反图中，A’就到A有路径，那么拓扑里，A’就会因为靠前被标记为“选择”，并未满足条件。并且，我们应当确信的是，解的多情况依赖的是拓扑排序的多情况，不按拓扑序来的话，解就是错误的，或者说是不成立的，也就是说，我们拓扑序先选择A的话，就会导致别的约束条件的不成立，那么在我们引入了A’到A的这条边后，A就与A’在同一块中了，算法会报告不可行信息。若是原图本来就满足A到A’有路径，然而A’到A无路径的话，我们添一条边，只是确定了其有解，但丝毫不会影响到拓扑排序，只有当A到A’之间根本不存在路径的时候，才会影响到其拓扑排序，所以，真相是这样的。
是不是有人已经开始疑惑，讲了这么久的对称性，整个算法都是依赖对称性才得以成立的，那么怎么一下引入一条边让图不对称了算法还成立呢！关于这个问题，其实很好解释，仔细想想，对称性确保的是什么？它确保的可是原图有解，则一定可以构造出来。现在我们引入了一条边A’→A，若通过上述判断，让其无解了，那么对后面显然是没有影响的，毕竟算法都没执行下去了，还算什么影响。如果还有解呢？这说明了什么？这说明了A’到A原本就存在一条路径，或者A’到A之间根本就没有路径。如果有路径的话，那么我多增加一条有区别吗？它会影响到算法的任何一步吗？显然不会啊，那如果原本没有路径的话呢？没有路径意味着谁在拓扑序列中靠前都是可能的，在有了该边后（反边为A→A’），A将在拓扑序列中靠前，被标记为“选择”，那么我们会对A’进行直接标记，此时，A’到A是没有路可走的，它根本就无法访问到A，所以在标记的这个过程中，这条路径根本就没有影响到图的任何对称性，在拓扑排序后，你完全可以当其不存在。
模型其实都大同小异，还是看自己去变幻，比如模型一和模型二其实就是一样的，只是针对的点不同而已。一般，如果2-sat感觉很明显的话，就用2-sat做好了，不过，千万记得考虑好如何降低构图的复杂度噢！复杂度如果太高，就还是再另辟蹊径吧，也许有更加好的方法嗯。
2-SAT学习持续进行中......
POJ-3207：Ikki's Story IV - Panda's Trick
题目大意：
其实这道题刚开始愣是没看懂题目什么意思，主要是没想清楚如何跟2-SAT联合起来。图论学的太少导致对建图这方面根本不敏感。。。
其实给了你m对边连接的方案时，我们会发现，如果两个边会相交，那么首先要满足4个点刚好交叉的情况，其次还要这两条边同时连在圆内和圆外。
解题思路：
那么就可以依据此建图，对于每一条边分为圆内圆外，那么对于2-SAT模式对于有矛盾的边，第i条在圆内 第j条在圆外，同里第i条在圆外 第j条就必须在圆内。
这道题不需要输出方案，所以只需判断是否可行即可，判断方法在上面笔记中提到过。
Ac代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<stack>
#include<vector>
#define lson rt<<1
#define rson rt<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=4e3+5;
const int INF=1e9+7;
const ll mod=998244353;
int n,m,a[maxn],b[maxn];
int tot,cnt,dfn[maxn],low[maxn],belong[maxn];
vector<int> v[maxn];
bool vis[maxn];
stack<int> s;
void tarjan(int u)
{
low[u]=dfn[u]=++tot;
s.push(u),vis[u]=1;
for(int i=0;i<v[u].size();i++)
{
int g=v[u][i];
if(!dfn[g])
{
tarjan(g);
low[u]=min(low[u],low[g]);
}
else if(vis[g]) low[u]=min(low[u],dfn[g]);
}
if(dfn[u]==low[u])
{
cnt++;
while(!s.empty())
{
int now=s.top();
s.pop();vis[now]=0;
belong[now]=cnt;
if(now==u) break;
}
}
}
void add(int x,int y)
{
v[x].push_back(y);
}
void build() //建图
{
for(int i=1;i<=m;i++)
{
for(int j=i+1;j<=m;j++)
{
if((a[i]<a[j]&&a[j]<b[i]&&b[i]<b[j])||(a[j]<a[i]&&a[i]<b[j]&&b[j]<b[i]))
{
add(i*2-1,j*2);
add(i*2,j*2-1);
add(j*2,i*2-1);
add(j*2-1,i*2);
}
}
}
}
bool check() //判断2-SAT的合法性
{
for(int i=1;i<=m;i++)
if(belong[i*2-1]==belong[i*2]) return 0;
return 1;
}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
if(a[i]>b[i]) swap(a[i],b[i]);
}
build();
for(int i=1;i<=2*m;i++)
if(!dfn[i]) tarjan(i);
if(check()) printf("panda is telling the truth...\n");
else printf("the evil panda is lying again\n");
//system("pause");
}