递归的时间与空间复杂度

一、 递归的时间复杂度

递归算法的时间复杂度 = 递归次数 $\times$ 每次递归的时间复杂度。

递归次数：可以通过画递归树，数递归树的节点数，得到递归次数。

二、递归的空间复杂度

递归算法的空间复杂度 = 递归深度 $\times$ 每次入栈的空间复杂度 。

三、例子

3.1 斐波那契数列求和

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以计算斐波那契数列为例，代码如下：

int fib(int i) { // 计算斐波那契数列的第 i 项
	if (i <= 0) return 0;
	if (i == 1) return 1;
	return fib(i - 1) + fib(i - 2);
}

假设计算的是 fib(4)，计算过程过程如下：

1. fib(4) 入栈，执行到第四行 return fib(3) + fib(2)，按照从左往右计算，先算 fib(3)；
2. fib(3) 入栈。执行到第四行 return fib(2) + fib(1)，按照从左往右计算，先算 fib(2)；
3. fib(2) 入栈。执行到第四行 return fib(1) + fib(0)，按照从左往右计算，先算 fib(1)；
4. fib(1) 入栈。执行到第三行 if (i == 1) return 1，返回 1；
5. fib(1) 出栈。返回的 1 交给 fib(2)，fib(2) 继续执行第四行 return 1 + fib(0)；
6. fib(0) 入栈。执行到第二行 if (i <= 0) return 0 ，返回 0；
7. fib(0) 出栈。返回的 0 交给 fib(2)，fib(2) 继续执行第四行 return 1 + 0，返回 1；
8. fib(2) 出栈。返回的 1 交给 fib(3)，fib(3) 继续执行第四行 return 1 + fib(1)；
9. fib(1) 入栈。执行到第三行 if (i == 1) return 1，返回 1；
10. fib(1) 出栈。返回的 1 交给 fib(3)，fib(3) 继续执行第四行 return 1 + 1，返回 2；
11. fib(3) 出栈。返回的 2 交给 fib(4)，fib(4) 继续执行第四行 return 2 + fib(2);
12. fib(2) 入栈。执行到第四行 return fib(1) + fib(0)，按照从左往右计算，先算 fib(1)；
13. fib(1) 入栈。执行到第三行 if (i == 1) return 1，返回 1；
14. fib(1) 出栈。返回的 1 交给 fib(2)，fib(2) 继续执行第四行 return 1 + fib(0)；
15. fib(0) 入栈。执行到第二行 if (i <= 0) return 0 ，返回 0；
16. fib(0) 出栈。返回的 0 交给 fib(2)，fib(2) 继续执行第四行 return 1 + 0，返回 1；
17. fib(2) 出栈。返回的 1 交给 fib(4)，fib(4) 继续执行第四行 return 2 + 1，返回 3，程序结束。

3.2 递归次数和递归深度

从 3.1 的例子可以看出，递归次数影响时间复杂度，递归深度影响空间复杂度。时间复杂度比较好理解。此处不解释。

图 1

空间复杂度涉及到递归栈，结合图1，我们可以分析出以下三点：

• 整个计算过程是线性进行的：比如 fib(3) + fib(2)，这时并不会同时把 fib(3) 和 fib(2)入栈，而是按顺序从左往右，把 fib(3) 入栈，执行 fib(3)。

• 递归深度影响空间复杂度：最深的一次递归所占用的空间（这里的空间包含之前递归所入栈的空间），就是整个计算过程中所能占用的最大空间了。整个过程是线性的，其中不断有出栈和入栈，占用的空间始终不会超过，最深的那次递归时，所用的空间。

• 这个例子里的空间复杂度，就是 fib(4)入栈 + fib(3)入栈 + fib(2)入栈 + fib(1)入栈 所占用的空间（或者 fib(4)入栈 + fib(3)入栈 + fib(2)入栈 + fib(0)入栈 所占用的空间，在本例中他们是一样的）。

3.3 关于入栈

递归调用函数时，通常会将一些数据结构和变量入栈，以便在递归调用完成后能够恢复之前的状态并继续执行。具体入栈的内容包括：

1. 函数的返回地址：在进入递归函数时，当前函数的返回地址会被压入栈中，以便在递归调用完成后能够返回到之前的函数继续执行。
2. 函数的参数：递归调用时，需要将新的参数值传递给递归函数。这些参数值也会被入栈保存。
3. 局部变量：递归调用会创建新的函数栈帧，每个栈帧都有自己的局部变量。这些局部变量也会被入栈保存。
4. 临时变量：递归调用中使用的一些临时变量也会被入栈保存，以便在递归调用完成后能够恢复之前的值。

（需要注意的是，不同的编程语言和实现方式可能会有所不同，入栈的内容也可能会因具体情况而异。）