斐波那契数列及Python实现

斐波那契数列，又称为黄金分割数列，因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21……在数学上，斐波那契数列以如下被以递归的方法定义：F(0)=1,F(1)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n>2,n∈N*)，在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有直接的引用。

兔子繁殖问题：

举例，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔子？
我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：
第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对
两个月后，生下一对小兔对数共有两对
三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对。

依次类推可以列出下表：

进过月数	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
幼崽对数	1	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89
成兔对数	0	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
总体对数	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144	233

幼仔对数=前月成兔对数
成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数
总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数
可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

台阶组合问题：

有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级，要登上第10级台阶有几种不同的走法?
这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登法……
1，2，3，5，8，13……所以，登上十级，有89种走法。

类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多少种？
答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2) - [(1-√5)/2]^(10+2)}=144种。
求递推数列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通项公式
由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），将斐波那契数列的通项式代入，化简就得结果。

动态规划中有一个例子是台阶算法的，其实也是斐波那契数列的一个实例请参考：漫画：什么是动态规划？https://juejin.im/post/5a29d52cf265da43333e4da7

附上一个Python的实现：

# -*- coding: utf-8 -*-
def fib(n):
    global numCalls
    numCalls += 1
    print 'fib called with',n
    if n==0 or n==1:
        return 1
    else:
        return fib(n-1) + fib(n-2)   #递归调用
numCalls=0
n=6
res=fib(n)
print 'fib of',n,'=',res,'numCalls = ',numCalls


#memoization resolve overlapping sub problems
#默记法解决重叠子问题
def fastFib(n,memo):
    global numCalls
    numCalls += 1
    print 'fib called with',n
    if not n in memo:
        memo[n]=fastFib(n-1,memo)+fastFib(n-2,memo)
    return memo[n]
def fib1(n):
    memo={0:1, 1:1}
    return fastFib(n,memo)
numCalls=0
n=6
res=fib1(n)
print 'fib of',n,'=',res,'numCalls = ',numCalls

运行结果：

fib called with 6
fib called with 5
fib called with 4
fib called with 3
fib called with 2
fib called with 1
fib called with 0
fib called with 1
fib called with 2
fib called with 1
fib called with 0
fib called with 3
fib called with 2
fib called with 1
fib called with 0
fib called with 1
fib called with 4
fib called with 3
fib called with 2
fib called with 1
fib called with 0
fib called with 1
fib called with 2
fib called with 1
fib called with 0
fib of 6 = 13 numCalls =  25

fib called with 6
fib called with 5
fib called with 4
fib called with 3
fib called with 2
fib called with 1
fib called with 0
fib called with 1
fib called with 2
fib called with 3
fib called with 4
fib of 6 = 13 numCalls =  11

可以看出我们使用默记法之后，省略了很多次递归调用的重新计算。

斐波那契数列及Python实现

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